Записать уравнения прямой и плоскости ИЛИ уравнения двух прямых в
трехмерном пространстве и выяснить их взаимное расположение. В
случае, если они пересекаются найти косинус угла. Иначе найти
расстояние между ними.
L1: x+y+z=0 и x-4y+3z+1=0
L2: x=7t-4
y=-2t+2
z=-5t+1
Ответы
Відповідь:Для начала найдем точку пересечения прямой l2 с плоскостью l1. Подставим значения x, y и z из уравнения прямой l2 в уравнение плоскости l1:
(7t-4) + (-2t+2) + (-5t+1) = 0
Сократим выражение:
-4t - 1 = 0
t = -1/4
Теперь найдем координаты точки пересечения:
x = 7(-1/4)-4 = -1/4
y = -2(-1/4)+2 = 2.5
z = -5(-1/4)+1 = 1.75
Таким образом, точка пересечения прямой l2 с плоскостью l1 равна (-1/4, 2.5, 1.75).
Теперь вычислим косинус угла между прямой l1 и l2. Для этого найдем векторы направления прямых.
Вектор направления прямой l1 можно найти, взяв коэффициенты при переменных в уравнении прямой:
v1 = (1, -4, 3)
Вектор направления прямой l2 можно найти, взяв коэффициенты при параметрах t в уравнении прямой:
v2 = (7, -2, -5)
Теперь найдем косинус угла между векторами v1 и v2, используя их скалярное произведение:
cosθ = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|)
где (v1 · v2) обозначает скалярное произведение векторов, а |v1| и |v2| - их длины.
(v1 · v2) = 1*7 + (-4)*(-2) + 3*(-5) = 7 + 8 - 15 = 0
|v1| = √(1^2 + (-4)^2 + 3^2) = √(1 + 16 + 9) = √26
|v2| = √(7^2 + (-2)^2 + (-5)^2) = √(49 + 4 + 25) = √78
cosθ = 0 / (√26 * √78) = 0
Таким образом, угол между прямой l1 и l2 равен 90 градусов, то есть прямые перпендикулярны друг другу.
Если прямые не пересекаются, то для нахождения расстояния между ними можно использовать формулу:
d = |(P0-P1) · n| / |n|
где P0 и P1 - произвольные точки на каждой из прямых, n - вектор, перпендикулярный обеим прямым.
Пусть P0 = (x0, y0, z0) - точка с параметром t = 0 на l2, P1 = (x1, y1, z1) - точка на l1, n - вектор, перпендикулярный прямым l1 и l2 и направленный из P0 в P1. Так как l1 и l2 перпендикулярны, их пересечение можно считать точкой P0 на l2. То есть P0 = (-1/4, 2.5, 1.75).
P1 в данном случае можно взять как точку пересечения l1 и l2.
Тогда n = P0 - P1.
P1 = (x1, y1, z1), P0 = (-1/4, 2.5, 1.75)
n = (-1/4-x1, 2.5-y1, 1.75-z1)
Теперь можно вычислить расстояние между прямыми:
d = |(-1/4-x1, 2.5-y1, 1.75-z1) · n| / |n|
Таким образом, чтобы найти расстояние между прямыми, нужны значения x1, y1 и z1.