Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу 60°. Радіус основи циліндра дорівнює 4 см, а висота - 3 см. Знайдіть периметр отриманого перерізу.
Ответы
Ответ:
Перш за все, зобразимо ситуацію. Нехай ОАОБ - переріз циліндра, де О - центр кола основи, ОА = ОВ - радіус основи. Лінія CD паралельна основі і перетинає коло основи у точках C і D, де C - точка на одній стороні кола основи, а D - точка на протилежній стороні кола основи.
Ми знаємо, що дуга, відсікаема площиною, дорівнює 60°. Оскільки коло має 360°, то залишок 360° - 60° = 300°. Тобто, ми відсікаємо від кола дугу 300°, яка складається з 5/6 повного кола.
Тепер розділимо отриманий переріз на дві частини ОСD і ОВD. Оскільки OD - радіус кола основи, то OD = 4 см.
Відстань між точками C і D (AB) - висота циліндра, тобто AB = 3 см.
Отже, маємо прямокутний трикутник OCD зі сторонами OD = 4 см і AB = 3 см. Знайдемо сторону OC за теоремою Піфагора:
OC² = OD² + CD².
Оскільки OD = 4 см, буде:
OC² = 4² + CD²
→ OC² = 16 + CD².
Таким чином, ми потребуємо визначити значення CD².
Ми знаємо, що дуга CD дорівнює 300°, що становить 5/6 повного кола. Таким чином, пропорція між довжинами дуги і радіусом кола є:
CD/4 = 5/6.
Можемо розрахувати CD:
CD = (5/6) * 4 = 20/6 = 10/3 см.
Тоді значення CD² дорівнює:
CD² = (10/3)² = 100/9 см².
Підставимо це значення в рівняння OC² = 16 + CD²:
OC² = 16 + 100/9
OC² = 144/9 + 100/9
OC² = 244/9
OC = √(244/9)
OC ≈ 4.97 см.
Таким чином, сторона OC має довжину приблизно 4.97 см.
Знаходимо периметр перерізу, який складається з відрізків OA, OB, OC і CD:
Периметр = OA + OB + OC + CD
Периметр = 4 + 4 + 4.97 + 10/3
Периметр ≈ 16.97 + 10/3 см.
Отже, периметр отриманого перерізу приблизно дорівнює 16.97 + 10/3 см.