Биссектрисы внутренних углов при вершинах A и B треугольника пересекаются в точке P, а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке Q. Докажите, что все четыре точки A, B, P, Q лежат на одной окружности. Где расположен её центр?
ГАЗ52:
Ещё нужно?
Ответы
Ответ дал:
10
Ответ:
Доказано, что точки А, В, P, Q принадлежат одной окружности.
Объяснение:
Биссектрисы внутренних углов при вершинах A и B треугольника АВС пересекаются в точке P, а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке Q. Докажите, что все четыре точки A, B, P, Q лежат на одной окружности. Где расположен её центр?
Дано: ΔАВС;
АК ∩ ВЕ = Р - биссектрисы ∠ВАС и ∠АВС;
BQ ∩ AQ = Q - биссектрисы ∠TBA и ∠HАВ;
Доказать: А, В, P, Q ⊂ одной окружности.
Доказательство:
- Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
⇒ QB ⊥ BE; AK ⊥ AQ.
Рассмотрим AQBP.
- Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.
∠QBP + ∠QAP = 90° + 90° = 180°
⇒ ∠AQB + ∠APB = 360° - 180° = 180°
- Если сумма противоположных уголов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
⇒ А, В, P, Q принадлежат одной окружности.
- Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине его гипотенузы.
⇒ центр окружности лежит в середине диагонали QP четырехугольника QBPA.
⇒ О - центр описанной окружности.
#SPJ1
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/685/685015be8b71b73298d3ca0060f7db5b.png)
Вас заинтересует
3 месяца назад
3 месяца назад
3 месяца назад
1 год назад