Question

Биссектрисы внутренних углов при вершинах A и B треугольника пересекаются в точке P, а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке Q. Докажите, что все четыре точки A, B, P, Q лежат на одной окружности. Где расположен её центр?

Answer 1

Ответ:

Доказано, что точки А, В, P, Q принадлежат одной окружности.

Объяснение:

Биссектрисы внутренних углов при вершинах A и B треугольника АВС пересекаются в точке P, а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке Q. Докажите, что все четыре точки A, B, P, Q лежат на одной окружности. Где расположен её центр?

Дано: ΔАВС;

АК ∩ ВЕ = Р - биссектрисы ∠ВАС и ∠АВС;

BQ ∩ AQ = Q - биссектрисы ∠TBA и ∠HАВ;

Доказать: А, В, P, Q ⊂ одной окружности.

Доказательство:

• Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

⇒ QB ⊥ BE;   AK ⊥ AQ.

Рассмотрим AQBP.

• Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.

∠QBP + ∠QAP = 90° + 90° = 180°

⇒ ∠AQB + ∠APB = 360° - 180° = 180°

• Если сумма противоположных уголов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

⇒   А, В, P, Q принадлежат одной окружности.

• Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине его гипотенузы.

⇒ центр окружности лежит в середине диагонали QP четырехугольника QBPA.

⇒ О - центр описанной окружности.

#SPJ1