Question

1. Даны векторы 2 - х - зу - k и b = 4x- 2у
Найдите скалярное произведение векторов
если |×|=2 |y|=4 x;y=60° x ⊥k y ⊥k
yIK?
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между прямыми DC и AC1

Answer 1

1. Давайте спершу знайдемо скалярний добуток векторів a і b:

a = 2x - 2y - 3z
b = 4x - 2y

Скалярний добуток векторів a і b обчислюється як:

a · b = |a| * |b| * cos(θ),

де |a| і |b| - довжини векторів a і b, а θ - кут між ними.

В даному випадку |a| = √(2^2 + (-2)^2 + (-3)^2) = √(4 + 4 + 9) = √17.

|b| = √(4^2 + (-2)^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5.

За даними, |x| = 2 та |y| = 4.

θ = 60°, а також ми знаємо, що x ⊥ k і y ⊥ k, тобто вони перпендикулярні до вектора k. Це означає, що кут між a і b дорівнює куту між їхніми проекціями на площину, перпендикулярну до k. Ця площина містить вектори a і b.

Тепер ми можемо обчислити скалярний добуток:

a · b = |a| * |b| * cos(θ) = (√17) * (2√5) * cos(60°) = 2√85 * (1/2) = √85.

Отже, скалярний добуток векторів a і b дорівнює √85.

2. Щоб знайти кут між прямими DC і AC1 в кубі ABCDA1B1C1D1, спочатку розглянемо вектори, які представляють ці прямі.

Вектор DC буде співвідноситися зі стороною куба, тому це може бути наприклад вектором AD або BC (вони співпадають за напрямом).

Вектор AC1 буде співвідноситися зі стороною куба, наприклад, AC або A1C1.

Оскільки ми знаємо, що сторони куба взаємно перпендикулярні, кут між стороною куба і будь-якими прямими, що її містять, буде 90 градусів.

Отже, кут між прямими DC і AC1 дорівнює 90 градусів.