Задано рівняння площини (а) : 2x-y+ 2z -3 =0, прямої (a):x/1=y+2/-1=z-1/2 і точка М(0;2;1) . Потрібно
знайти:
1) рівняння площини, що проходить через точку М паралельно площині (а),
2) рівняння площини, що проходить
через точку М перпендикулярно до
прямої (а),
3) рівняння прямої, що проходить
через точку М перпендикулярно до площини (а),
4) рівняння прямої, що проходить через точку М паралельно прямій (а),
5) точку перетину прямої (а) і площини
(a),
6) відстань від точки М до площини (а).
Ответы
1) Рівняння площини, що проходить через точку М паралельно площині (а):
Площина, паралельна площині (а), буде мати такий же нормальний вектор. Таким чином, рівняння площини, яка проходить через точку М та паралельна площині (а), буде:
2x - y + 2z - D = 0, де D - константа. Щоб знайти D, підставимо координати точки М в це рівняння:
2(0) - (2) + 2(1) - D = 0,
-2 - 2 - D = 0,
-4 - D = 0,
D = -4.
Таким чином, рівняння площини, що проходить через точку М паралельно площині (а), буде:
2x - y + 2z + 4 = 0.
2) Рівняння площини, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої (а):
Вектор прямої (a) вже є нормальним вектором до цієї прямої. Таким чином, рівняння площини, що проходить через точку М і перпендикулярно до прямої (a), буде:
x - 1 = 0.
3) Рівняння прямої, що проходить через точку М перпендикулярно до площини (а):
Вектор нормалі площини (а) [2, -1, 2] становить напрямок прямої, яка проходить через точку М і перпендикулярно до площини (а). Таким чином, рівняння прямої буде:
x = 0 + 2t,
y = 2 - t,
z = 1 + 2t.
4) Рівняння прямої, що проходить через точку М паралельно прямій (a):
Вектор прямої (a) [1, -1, 1] вже є напрямком прямої, яка проходить через точку М та паралельно прямій (a). Таким чином, рівняння цієї прямої буде:
x = 0 + t,
y = 2 - t,
z = 1 + t.
5) Точка перетину прямої (a) і площини (а):
Для знаходження точки перетину встановимо рівняння прямої і площини (а). Підставимо значення прямої в рівняння площини (а):
2(1) - (-1) + 2(1) - 3 = 0,
2 + 1 + 2 - 3 = 0,
5 - 3 = 0,
2 = 0.
Однак це приводить до неправильності, тому точка перетину не існує.
6) Відстань від точки М до площини (а):
Відстань між точкою і площиною розраховується за формулою:
d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),
де (A, B, C) - нормальний вектор площини, (x, y, z) - координати точки М, D - константа.
В нашому випадку:
A = 2, B = -1, C = 2, D = -3, x = 0, y = 2, z = 1.
Підставимо ці значення в формулу:
d = |2(0) - 1(2) + 2(1) - 3| / √(2^2 + (-1)^2 + 2^2),
d = |-2 - 2 - 3| / √(4 + 1 + 4),
d = |-7| / √9,
d = 7 / 3
Объяснение:Правильно