Question

5. Розв'яжіть нерівність:
1) |x²+3x+1|<2x+3;
2) |x²+2x-10|>4-3x.

Answer 1

Ответ:

$1) ~ x \in (-1 ; 1)$

$2) ~x\in (- \infty ~ ; - 7 ) \cup (2 ~; \infty )$

Объяснение:

5. Розв'яжіть нерівність:

1) |x²+3x+1|<2x+3

Найдем нули модуля

x²+3x+1 = 0

D = 9 - 4 = 5

$x_{1}= \dfrac{-3 + \sqrt{5} }{2} \approx -0,4 \\\\\\ x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{5} }{2} \approx -2,6$

$\large \setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.85,-0.2) {\sf -2,6} \put(0.4 ,0.09){ \Large \sf I } \put(1.38 ,0.09){ \Large \sf II } \put(2.35 ,0.09){ \sf \Large III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){2}} \put(1.9,-0.2) {\sf -0,4} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \put(2.94,-0.15){\sf x} \end{picture}$  

+                               —                      +                  x² + 3x + 1

$\textsf{I} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x < - 2,6 \\\\ x^2 + 3x + 1 < 2x + 3 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < -2,6 \\\\ x^2 +x - 2 < 0 \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < -2,6 \\\\ (x+2)(x-1) < 0 \end{array} \Leftrightarrow$$\left \{ \begin{array}{l} x < -2,6 \\\\ x \in (-2 ~;~ 1) \end{array} \Leftrightarrow \varnothing$

$\textsf{II} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x \in [ - 2,6 ~; -0,4 ) \\\\ -(x^2 + 3x + 1) < 2x + 3 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \in [ - 2,6 ~; -0,4 ) \\\\ x^2 +5x +4 > 0 \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \in [ - 2,6 ~; -0,4 ) \\\\(x+1)(x+4) > 0 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \in [ - 2,6 ~; -0,4 ) \\\\x \in (- \infty ~ ; ~ -4) \cup (-1 ~; ~ \infty ) \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x \in ( -1~ ; -0,4 ]$

$\textsf{III} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant -0,4 \\\\ x^2 + 3x + 1 < 2x + 3 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant -0,4 \\\\ x \in (-2 ~; 1) \end{array} \Leftrightarrow x \in [ - 0,4 ~ ; ~ 1)$

Находим объединение для II и III множества решений модульного уравнения

$x \in (-1 ~; -0,4 ] \cup [ - 0,4 ~ ; ~ 1)$

$\Rightarrow \boldsymbol {x \in (- 1~ ;~ 1)}$

2) |x²+2x-10|>4-3x

Решаем аналогично

x²+2x-10 = 0

D = 2² + 40 = 44

$x_{1}= \dfrac{-2 +2 \sqrt{11} }{2} = -1 + \sqrt{11} \approx -2,3 \\\\\\ x_2 = \dfrac{-2 - 2\sqrt{11} }{2} = - 1 - \sqrt{11} \approx -4,3$

$\large \setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.85,-0.2) {\sf -4,3} \put(0.4 ,0.09){ \Large \sf I } \put(1.38 ,0.09){ \Large \sf II } \put(2.35 ,0.09){ \sf \Large III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){2}} \put(1.9,-0.2) {\sf -2,3} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \put(2.94,-0.15){\sf x} \end{picture}$

+                               —                      +                  x² + 2x - 10

$\textsf{I} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x < - 4,3 \\\\ x^2 + 2x -10 > 4-3x \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < -4,3 \\\\ x^2 +5x - 14 > 0 \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < -4,3 \\\\ (x+7)(x-2) > 0 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < -4,3 \\\\ x\in (- \infty ~ ; - 7 )\cup (2 ~ ; ~ \infty ) \end{array} \Leftrightarrow x\in (- \infty ~ ; - 7 )$

$\textsf{II} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x \in [-4,3 ~ ; -2,3) \\\\ -(x^2 + 2x -10) > 4-3x \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \in [-4,3 ~ ; -2,3) \\\\ x^2 -x - 6 < 0 \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \in [-4,3 ~ ; -2,3) \\\\ (x-3)(x+2) < 0 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \in [-4,3 ~ ; -2,3) \\\\x \in (-2 ~; ~3) \end{array} \Leftrightarrow \varnothing$

$\textsf{III} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant -2,3 \\\\ x^2 + 2x -10 > 4-3x \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant -2,3 \\\\ x\in (- \infty ~ ; - 7 )\cup (2 ~ ; ~ \infty ) \end{array} \Leftrightarrow x \in (2 ~ ; ~ \infty )$

После объединения I и III множества решений, получим что

$x\in (- \infty ~ ; - 7 ) \cup (2 ~; \infty )$