Question

Знайдіть область значень функцій:
А) f(x) =√x²−5
Б) f(x) =−3x²+12x−4

ДОПОМОЖІТЬ БУДЬ ЛАСКА!!!​

Answer 1

А) Для функції \(f(x) = \sqrt{x^2 - 5}\) потрібно, щоб \(x^2 - 5 \geq 0\) (оскільки корінь з від'ємного числа не визначений). Розв'язавши нерівність, отримаємо \(x^2 \geq 5\). Область значень функції \(f(x)\) включає всі дійсні числа \(x\), такі, що \(x \leq -\sqrt{5}\) або \(x \geq \sqrt{5}\).

Б) Для функції \(f(x) = -3x^2 + 12x - 4\) визначимо вершину параболи, що відповідає максимальному (або мінімальному) значенню. Вершина параболи розташована у точці \(x = -\frac{b}{2a}\), де \(a\), \(b\), і \(c\) - коефіцієнти квадратичного рівняння \(ax^2 + bx + c\). У цьому випадку ми маємо \(a = -3\), \(b = 12\), і \(c = -4\). Підставимо ці значення та знайдемо \(x\).

\[x = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = 2\]

Отже, функція досягає екстремуму при \(x = 2\). Тепер можна визначити область значень, розглядаючи напрямок відкриття параболи. Оскільки перед \(x^2\) стоїть коефіцієнт \(-3\) (від'ємний), то парабола відкривається донизу, тобто функція досягає максимального значення на вершині параболи. Таким чином, область значень функції \(f(x)\) - всі дійсні числа \(y\), такі, що \(y \leq f(2)\).