Question

У правильній трикутній піраміді
бічне ребро дорівнює 18 см і
утворює з площиною основи кут
60° Знайдіть площу основи
піраміди.

Answer 1

Ответ:

Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: КАВС - правильная треугольная пирамида;

∠КАО = 60°;

R = 2√3 см - радиус описанной окружности.

Найти: Sбок.

Решение:

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают.

⇒ О - центр описанной окружности.

Площадь боковой поверхности пирамиды:

, где Росн. - периметр основания; d - апофема.

Найдем апофему КЕ:

1. Рассмотрим ΔАКО - прямоугольный.

∠КАО = 60°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АКО = 90° - 60° = 30°.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ АК = 2 АО = 4√3 (см)

По теореме Пифагора найдем КО:

КО² = АК² - АО² = 48 - 12 = 36

КО = √36 = 6 (см)

2. Рассмотрим ΔАВС - равносторонний.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

АО = 2√3 ⇒ ОЕ = √3 (см)

3. Рассмотрим ΔОКЕ - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем апофему КЕ.

КЕ² = ОЕ² + ОК² = 3 + 36 = 39

КЕ = √39 (см)

Теперь найдем периметр основания.

4. Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника равен:

, где а - сторона треугольника.

⇒ АВ = R · √3 = 2√3 · √3 = 6 (см)

Росн. = 6 · 3 = 18 (см)

5. Найдем Sбок.:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 9√39 см².