Ответы
Відповідь:
Щоб знайти екстремуми функції \( y = 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 \), треба взяти похідну функції і прирівняти її до нуля.
\[ y' = \frac{dy}{dx} = 4x - x^2 \]
Тепер прирівняємо \( y' \) до нуля:
\[ 4x - x^2 = 0 \]
Факторизуємо:
\[ x(4 - x) = 0 \]
Звідси маємо дві можливості для \( x \): \( x = 0 \) або \( x = 4 \).
Тепер, щоб з'ясувати, чи ці точки є екстремумами, треба взяти другу похідну і визначити її знак на кожному з інтервалів, утворених коренями першої похідної.
\[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 4 - 2x \]
Якщо \( x = 0 \), то \( y'' = 4 > 0 \), що означає локальний мінімум. Якщо \( x = 4 \), то \( y'' = -4 < 0 \), що означає локальний максимум.
Отже, у функції \( y = 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 \) є локальний мінімум у точці \( x = 0 \) та локальний максимум у точці \( x = 4 \).
Пояснення: