Question

Діагональ BD паралелограма ABCD є його висотою в дорівнює стороні ВС. Знайдіть сторону CD паралелограма, якщо точка в віддалена від прямої CD на 4 см.

Answer 1

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться використати властивості паралелограма та трикутника. Позначимо довжину сторони BC паралелограма як
x
x.

Оскільки BD є висотою паралелограма ABCD, відомо, що трикутник BCD - прямокутний трикутник. Точка V, яка віддалена від прямої CD на 4 см, є проекцією точки B на пряму CD. Тому за теоремою Піфагора маємо:
B
V
2
+
V
C
2
=
B
C
2
BV
2
+VC
2
=BC
2

B
V
2
=
x
2
−
4
2
=
x
2
−
16
BV
2
=x
2
−4
2
=x
2
−16

Оскільки BD паралельна стороні AC у паралелограмі, та BD є висотою, то трикутник BCD подібний трикутнику ABC. Використовуючи властивості подібних трикутників та співвідношення сторін, отримаємо:
B
V
A
B
=
C
D
A
C
AB
BV
​
=
AC
CD
​

x
−
4
x
=
C
D
x
x
x−4
​
=
x
CD
​


Зараз ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Підставимо вираз для
B
V
2
BV
2
з першого рівняння у друге рівняння:

x
2
−
16
x
2
=
C
D
x
x
2

x
2
−16
​
=
x
CD
​


Зробимо перетворення:

x
2
−
16
=
C
D
⋅
x
2
x
x
2
−16=CD⋅
x
x
2

​

x
2
−
16
=
C
D
x
x
2
−16=CDx

Тепер у нас є два рівняння:

x
2
−
16
=
C
D
x
x
2
−16=CDx
x
2
−
16
=
0
x
2
−16=0

Розв'яжемо друге рівняння:

x
2
=
16
x
2
=16
x
=
±
4
x=±4

Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, отримаємо, що
x
=
4
x=4. Тепер підставимо це значення в перше рівняння:

4
2
−
16
=
C
D
⋅
4
4
2
−16=CD⋅4
0
=
C
D
⋅
4
0=CD⋅4

Звідси отримуємо, що
C
D
=
0
CD=0. Це не можливо для паралелограма. Можливо, виникла помилка у вихідних даних або у формулюванні задачі. Якщо у вас є інші вхідні дані або додаткові уточнення, будь ласка, повідомте мене, і я буду радий допомогти вам далі.