Question

Для каких углов тангенс равен котангенсу? С объяснением пж даю 30 баллов

Answer 1

Ответ:

Для углов $\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi k}{2} ,\ k\in\mathbb{Z}$ тангенс и котангенс равны

Решение:

Составим и решим соответствующее уравнение:

$\mathrm{tg}\,x=\mathrm{ctg}\,x$

Воспользуемся тем, что котангенс - это величина, обратная тангенсу:

$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{1}{\mathrm{tg}\,x}$

Умножим обе части уравнения на $\mathrm{tg}\,x\neq 0$:

$\mathrm{tg}^2\,x=1$

$\mathrm{tg}\,x=\pm1$

Решаем каждое из двух простейших тригонометрических уравнений:

$\mathrm{tg}\,x=1\Rightarrow x_1=\mathrm{arctg}\,1 +\pi m=\underline{\dfrac{\pi }{4} +\pi m},\ m\in\mathbb{Z}$

$\mathrm{tg}\,x=-1\Rightarrow x_2=\mathrm{arctg}\,(-1) +\pi n=\underline{-\dfrac{\pi }{4} +\pi n}.\ n\in\mathbb{Z}$

Образовавшиеся две серии корней можно записать в виде:

$\boxed{x=\pm\dfrac{\pi }{4} +\pi k,\ k\in\mathbb{Z}}$

Или вовсе объединить в одну серию:

$\boxed{x=\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi k}{2} ,\ k\in\mathbb{Z}}$

Элементы теории:

Тангенс и котангенс - взаимно обратные величины:

$\mathrm{tg}\,\alpha =\dfrac{1}{\mathrm{ctg}\,\alpha };\ \mathrm{ctg}\,\alpha =\dfrac{1}{\mathrm{tg}\,\alpha }$

Решение простейшего тригонометричекого уравнения $\mathrm{tg}\,x=a$ имеет вид:

$a=\mathrm{arctg}\,x+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$