Ответы
а)
Доведемо цю формулу за допомогою методу математичної індукції. Метод математичної індукції складається з двох кроків:
База індукції: Перевіримо формулу для n = 1. Зліва маємо суму першого натурального числа, яка дорівнює 1. Зправа маємо (1(1 + 1))/2 = 1. Отже, формула вірна для n = 1.
Крок індукції: Припустимо, що формула вірна для n = k, тобто 1 + 2 + 3 + … + k = (k(k + 1))/2. Тепер доведемо, що формула вірна і для n = k + 1. За умовою індукції маємо:
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = (k(k + 1))/2 + (k + 1).
Скористаємося формулою для суми арифметичної прогресії:
(k(k + 1))/2 + (k + 1) = ((k + 1)(k + 2))/2.
Отже, якщо формула вірна для n = k, то вона вірна і для n = k + 1. З огляду на базу індукції, формула вірна для всіх натуральних чисел n.
б)
Для доведення цього твердження теж використаємо метод математичної індукції.
База індукції (n=1): Підставимо n=1 в наше твердження: 9 ^ (1 + 1) - 8*1 - 9 = 81 - 8 - 9 = 64, що ділиться на 16.
Крок індукції: Припустимо, що твердження виконується для n=k, тобто 9 ^ (k + 1) - 8k - 9 ділиться на 16. Нам потрібно показати, що твердження виконується і для n=k+1.
Розглянемо вираз 9 ^ (k + 2) - 8(k + 1) - 9. Ми можемо переписати його як: 9 * 9 ^ (k + 1) - 8k - 8 - 9.
Згідно з припущенням індукції, 9 ^ (k + 1) - 8k - 9 ділиться на 16, тому ми можемо записати його як 16m, де m - ціле число. Тоді наш вираз стає: 9 * 16m + 16 - 8k - 8 - 9 = 16(9m + 1).
Оскільки 9m + 1 - це ціле число, то весь вираз ділиться на 16, що і треба було довести. Таким чином, твердження виконується для всіх n в натуральних числах.