Ответы
Сначала найдем критические точки функции. Приравняв производную нулю, получим:
f'(x) = 3x² + 24x + 21 = 0.
Решая для x, получаем:
x = -2, x = -1/2, x = 1/2.
Теперь давайте оценим функцию в каждой критической точке и определим, является ли она локальным минимумом, максимумом или ни тем, ни другим:
При x = -2: f(-2) = (-2)³ + 12(-2)² + 21(-2) - 10 = -8 + 4 - 42 - 10 = -54
При x = -1/2: f(-1/2) = (-1/2)³ + 12(-1/2)² + 21(-1/2) - 10 = -1/8 + 9/ 16 + 11/16 – 10 = 1/16
При x = 1/2: f(1/2) = (1/2)³ + 12(1/2)² + 21(1/2) - 10 = 1/8 + 9/16 + 11/16 - 10 = 1/16
Поскольку все три критические точки дают значения, которые не являются ни максимумами, ни минимумами, мы должны изучить конечные точки интервала:
При x = -2: f(-2) = -54 (локальный минимум)
При x = 1: f(1) = 1 + 12 + 21 – 10 = 22 (локальный максимум)
Следовательно, минимальное значение функции на интервале [-2, 1] равно -54, достигается при x = -2, а максимальное значение равно 22, достигается при x = 1.