Question

Число 695 представили как сумму a1⋅1!+a2⋅2!+a3⋅3!+⋯an⋅n!, гдеn— некоторое натуральное число. Известно, что для вcякого i число ai целое и выполняется неравенство 0⩽ai⩽i. Найдите a1+a2+a3+⋯+an.

Answer 1

Ответ:

$14$

Пошаговое объяснение:

$6!=720$

поэтому $n<6$

предположим, $n=5$

$a_1\cdot 1!+a_2\cdot2!+a_3\cdot 3!+a_4\cdot 4!+a_5\cdot 5!=695$

$a_1+2a_2+6a_3+24a_4+120a_5=695$

$a_1=0$

затем

$2a_2+6a_3+24a_4+120a_5=695$

$2a_2+6a_3+24a_4+120a_5$ - четное число

$695$ - нечетное число

то есть $a_1=1$

--------------------------------

$1+2a_2+6a_3+24a_4+120a_5=695$

$2a_2+6a_3+24a_4+120a_5=695-1$

$2a_2+6a_3+24a_4+120a_5=694\ \ \ |:2$

$a_2+3a_3+12a_4+60a_5=347$

Максимально возможные значения:

$a_2=2, a_3=3, a_4=4$

затем

$2+3\cdot 3+12\cdot 4=2+9+48=59$

число $347$, поэтому $a_5$ должно равняться $5$

$a_2+3a_3+12a_4+60\cdot 5=347$

$a_2+3a_3+12a_4+300=347$

$a_2+3a_3+12a_4=347-300$

$a_2+3a_3+12a_4=47$

--------------------------------

Если $a_2=0$, то

$3a_3+12a_4=47$

$3a_3+12a_4$ - число, кратное 3

$47$ - число не делится на 3

Если $a_2=1$, то

$1+3a_3+12a_4=47$

$3a_3+12a_4=47-1$

$3a_3+12a_4=46$

$3a_3+12a_4$ - число, кратное 3

$46$ - число не делится на 3

то есть $a_2=2$

$2+3a_3+12a_4=47$

$3a_3+12a_4=47-2$

$3a_3+12a_4=45\ \ \ |:3$

$a_3+4a_4=15$

--------------------------------

Если$a_3=0$, то

$4a_4=15$

$a_4\notin Z$

Если $a_3=1$, то

$1+4a_4=15$

$4a_4=15-1$

$4a_4=14$

$a_4 \notin Z$

Если $a_3=2$, то

$2+4a_4=15$

$4a_4=15-2$

$4a_4=13$

$a_4 \notin Z$

итак $a_3=3$

$3+4a_4=15$

$4a_4=15-3$

$4a_4=12\ \ \ |:4$

$a_4=3$

--------------------------------

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+2+3+3+5=14$