Question

Даю 100 Баллов

Найти количество троек целых ненулевых чисел x, y, z для которых верно соотношение $x^{2} + y^{2} = 3z^{2}$

Answer 1

Ответ: Таких троек не существует

Объяснение:

x² + y² = 3z²

Согласно теореме Ферма

$a^{p - 1} - 1~\vdots ~p$ , где p —  простое, a $a$  не делится на p

В нашем же случае если x некратно 3, то

x² - 1 ⁝ 3  ⇒ x² - 1 ≡ 0 mod 3 ⇒ x² ≡ 1 mod 3, в ином случае если x кратно 3, то   x² ≡ 0 mod 3

С y аналогично ⇒

x² ≡ 1,0 mod 3
y² ≡ 1,0 mod 3

Поскольку правая уравнения часть кратна 3, то левая должна быть также кратна 3, а это может быть лишь в случае

x² ≡  0 mod 3
y² ≡ 0 mod 3

⇒ x² = (3a)² = 9a² ,  y = (3b)² = 9b²

Тогда

9a² + 9b² = 3z²

Т.к  левая часть кратна 9, то z = 3c ⇒ z²  = 9c²

9a² + 9b² = 3·9c²

9a² + 9b² = 27c² | : 9

a²  + b² = 3c²

Мы получили изначальное уравнение, далее можно вводить нескончаемые замены, из-за которых всегда x,y,z ⁝ 3ⁿ, с бесконечно большой степенью n, а такое может быть только когда
x = y = z = 0

Но по условию x,y,z ≠ 0

Значит уравнение не имеет троек целых ненулевых решений, для которых верно соотношение x² + y² = 3z²