Question

Дано точки 4 (8,4,8), В (2,4,-1), С (11,0,6) і S (7,2,3) вершини піраміди АВС. Знайти площу основи АВС піраміди ABCS і довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу АВС

Answer 1

Дано точки А(8,4,8), В(2,4,-1), С(11,0,6) і S(7,2,3) вершини піраміди АВС.

Знайти площу основи АВС піраміди ABCS і довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу АВС

А(8,4,8), В(2,4,-1), С(11,0,6) і S(7,2,3).

1) Находим векторы АВ и АС.

АВ = В(2,4,-1) - А(8,4,8) = (-6; 0; -9).

АС = С(11,0,6) - А(8,4,8) = (3; -4; -2).

Их векторное произведение равно:

АВ х АС =     i         j        k|         i         j

                   -6       0       -9|       -6       0

                   3       -4       -2|       3       -4 =  0i – 27j + 24k – 12j – 36i – 0k =

                                                              = -36i – 39j + 24k.

   АВ х АС = (-36; -39; 24).

Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.

S = (1/2)√((-36)² + ( -39)² +  24²) = (1/2)√( 1296+1521+576) = (1/2)√3393 ≈ 58,24946352/2 ≈  29,12473 кв. ед.

2)    Векторное произведение АВ х АС даёт координаты нормального вектора N = (-36; -39; 24).

По этому вектору (-36; -39; 2-4) и точке А(8; 4; 8) составляем у равнение плоскости ABC по формуле A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.

-36*(x – 8) + (-39)*(y – 4) + 24*(z - 8) = 0.

-36x + 288 – 39y + 156 + 24z – 192 = 0

   -36x – 39y + 24z +252 = 0 или, сократив на -3:

12x + 13y – 8z - 84 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D|

              √(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d =   |12·7 + 13·2 + (-8)·3 + (-84)|

           √(12² + 13² + (-8)²)

 =   |84 + 26 - 24 - 84|

        144 + 169 + 64

 =    2

    √ 377

 =   2√377

       377      ≈ 0.103005.

Получили: SO = 2√377

                               377      ≈ 0.103005