Дано точки 4 (8,4,8), В (2,4,-1), С (11,0,6) і S (7,2,3) вершини піраміди АВС. Знайти площу основи АВС піраміди ABCS і довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу АВС
Ответы
Дано точки А(8,4,8), В(2,4,-1), С(11,0,6) і S(7,2,3) вершини піраміди АВС.
Знайти площу основи АВС піраміди ABCS і довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу АВС
А(8,4,8), В(2,4,-1), С(11,0,6) і S(7,2,3).
1) Находим векторы АВ и АС.
АВ = В(2,4,-1) - А(8,4,8) = (-6; 0; -9).
АС = С(11,0,6) - А(8,4,8) = (3; -4; -2).
Их векторное произведение равно:
АВ х АС = i j k| i j
-6 0 -9| -6 0
3 -4 -2| 3 -4 = 0i – 27j + 24k – 12j – 36i – 0k =
= -36i – 39j + 24k.
АВ х АС = (-36; -39; 24).
Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.
S = (1/2)√((-36)² + ( -39)² + 24²) = (1/2)√( 1296+1521+576) = (1/2)√3393 ≈ 58,24946352/2 ≈ 29,12473 кв. ед.
2) Векторное произведение АВ х АС даёт координаты нормального вектора N = (-36; -39; 24).
По этому вектору (-36; -39; 2-4) и точке А(8; 4; 8) составляем у равнение плоскости ABC по формуле A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.
-36*(x – 8) + (-39)*(y – 4) + 24*(z - 8) = 0.
-36x + 288 – 39y + 156 + 24z – 192 = 0
-36x – 39y + 24z +252 = 0 или, сократив на -3:
12x + 13y – 8z - 84 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|
√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |12·7 + 13·2 + (-8)·3 + (-84)|
√(12² + 13² + (-8)²)
= |84 + 26 - 24 - 84|
144 + 169 + 64
= 2
√ 377
= 2√377
377 ≈ 0.103005.
Получили: SO = 2√377
377 ≈ 0.103005