Question

найти по определению производную функции f(x)=x*sinx

Answer 1

Ответ:

$f'(x)=x\cos x+\sin x$

Решение:

Рассмотрим функцию:

$f(x)=x\sin x$

Найдем производную по определению:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{(x+\Delta x)\sin(x+\Delta x)-x\sin x}{\Delta x} \ \boxed{=}$

Раскроем скобки в числителе:

$\boxed{=}\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x\sin(x+\Delta x)+\Delta x\sin(x+\Delta x)-x\sin x}{\Delta x} \ \boxed{=}$

И сгруппируем слагаемые:

$\boxed{=}\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x\big(\sin(x+\Delta x)-\sin x\big)+\Delta x\sin(x+\Delta x)}{\Delta x} \ \boxed{=}$

Дробь представим в виде суммы дробей:

$\boxed{=}\ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\left(\dfrac{x\big(\sin(x+\Delta x)-\sin x\big)}{\Delta x} + \dfrac{\Delta x\sin(x+\Delta x)}{\Delta x} \right) \ \boxed{=}$

От предела суммы перейдем к сумме пределов, попутно сокращая вторую дробь:

$\boxed{=}\ \lim\limits_{\Delta x\to 0} \dfrac{x\big(\sin(x+\Delta x)-\sin x\big)}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\to 0} \sin(x+\Delta x) \ \boxed{=}$

В первом пределе вынесем константу за знак предела, второй предел непосредственно вычисляем:

$\boxed{=}\ x\lim\limits_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}+\sin(x+0) \ \boxed{=}$

В числителе дроби используем формулу разности синусов:

$\boxed{=}\ x\lim\limits_{\Delta x\to 0} \dfrac{2\sin\dfrac{x+\Delta x-x}{2} \cos\dfrac{x+\Delta x+x}{2}}{\Delta x}+\sin x \ \boxed{=}$

Упростим, а также двойку из числителя перепишем в знаменатель знаменателя:

$\boxed{=}\ x\lim\limits_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin\dfrac{\Delta x}{2} \cos\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)}{\dfrac{\Delta x}{2} }+\sin x \ \boxed{=}$

Распишем предел как произведение пределов:

$\boxed{=}\ x\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin\dfrac{\Delta x}{2} }{\dfrac{\Delta x}{2} } \cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0} \cos\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)+\sin x \ \boxed{=}$

Так как $\Delta x\to 0$, то и $\dfrac{\Delta x}{2} \to 0$, а значит первый предел - это первый замечательный предел, который равен 1. Второй же предел непосредственно вычисляем:

$\boxed{=}\ x\cdot1 \cdot \cos\left(x+\dfrac{0}{2}\right)+\sin x =\boxed{x\cos x+\sin x }$

Элементы теории:

Определение производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при условии стремления этого приращения аргумента к нулю:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$