Question

3ⁿ+(n!)+2022 делится нацело на 13. Найдите все натуральные числа n

Answer 1

Ответ:

n=6

Объяснение:

${3}^{1} = 3 \\ {3}^{2} = 9 \\ {3}^{3} = 27 = 1(mod \: 13)$

И так далее по кругу. Это к чему? 3 в степени n даёт всего три возможных остатка, а именно 3, 9 и 1

2022=7(mod 13).

Теперь надо разобраться с n! и рассмотреть разные случаи.

1)7+1+n! = 0 (mod 13), n=3k

(3k)!=5 (mod 13). И смотрим по остаткам, я рассмотрю до 13!, т.к если n≥13, то n!=0(mod 13)

1!=1, 2!=2, 3!=6

4!=24=11(mod 13),

5!=55=3(mod 13)

6!=5(mod 13),

7!=9(mod 13),

8!=7(mod 13)

9!=11(mod 13),

10!=6(mod 13),

11!=1(mod 13),

12!=12(mod 13)

Причём n<13(иначе факториал кратен 13), тогда подойдёт только n=6(k=2)

2)3+7+n!=0(mod 13), n=3k+1

n!=3(mod 13), n=5 не подходит, т.к. 5≠3k+1(k-целое)

3)9+7+n!=0(mod 13), n=3k+2

n!=10(mod 13), такого вовсе нет.

Следовательно, если всё правильно посчитал и ничего не упустил, ответ только n=6