Question

Вычислить площадь области D, ограниченной заданными линиями.
Помогите пожалуйста, очень подробно, если сможете, с рисунком.

Answer 1

Ответ:

Найти площадь области  $\bf D:\ y=4x^2\ ,\ 9y=x^2\ ,\ y\leq 2$  

Область симметрична относительно оси ОУ . Поэтому можно вычислить площадь правой половины области D , а потом удвоить значение .

Область проектируем на ось ОУ  в отрезок  [ 0 ; 2 ] .

Точка входа в область лежит на параболе y=4x² (  х = √у/2 ) ,  точка выхода лежит на параболе  9y=x²  ( х = 3√у ) .

$\bf \displaystyle S=\iint\limits_{D}\, dx\, dy=\int\limits_0^2\, dy \int\limits_{\frac{\sqrt{y}}{2}}^{3\sqrt{y}}\, dx=\int\limits_0^2\, dy\Big(x\Big|_{\frac{\sqrt{y}}{2}}^{3\sqrt{y}}\Big)=\int\limits_0^2\, \Big(3\sqrt{y}-\frac{\sqrt{y}}{2}\Big)dy=\\\\\\=\int\limits_0^2\, 2,5\sqrt{y}\, dy=2,5\cdot \frac{2\sqrt{y^3}}{3}\Big|_0^2=\frac{5}{3}\cdot \sqrt{2^3}=\frac{5}{3}\cdot 2\sqrt2=\frac{10}{3}\cdot \sqrt2\\\\2S=\frac{20\sqrt2}{3}$