Question

Терміново, даю 20!!!! Знайти проекцію точки А(-2;1) на пряму

x+3 y-2

-1

3

Answer 1

Ответ:

(-2,6; 0,8)

Пошаговое объяснение:

• Проекция точки на прямую  -  это или сама точка, если она принадлежит заданной прямой, или основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

В нашем случае точка ∉ прямой (можно проверить), поэтому находим уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через заданную точку, а потом ищем точку пересечения этих перпендикулярных прямых.

У исходной прямой направляющий вектор   $\displaystyle \vec b=(-1;3)$. Он же будет вектором нормали для искомой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 1) и имеющей нормальный вектор   $\displaystyle \vec n=(-1;3)$ , записывается в виде

-1*(x-(-2)) + 3*(y-1)=0

-(x+2)+3y-3=0

-x - 2 + 3y - 3 = 0

3y = x + 5

$\displaystyle y=\frac{x}{3} +\frac{5}{3}$    -это уравнение перпендикуляра к исходной прямой, проходящего через исходную точку.

Теперь осталось только найти точку пересечения прямых.

$\displaystyle \frac{x+3}{-1} =\frac{y-2}{3} \quad \Rightarrow\quad 3x+9=-y+2\quad \Rightarrow \quad y=-3x-7\\\\\\-3x-7=\frac{x}{3} +\frac{5}{3} \\\\\\-3\frac{1}{3} x=\frac{5}{3} +7\\\\\\-\frac{10}{3} x=\frac{26}{3} \\\\ \boldsymbol { x=-2.6}$

это координата х точки пересечения. подставим ее в исходное уравнение и найдем координату у.

у = -3*(-2,6)-7 = 0,8

Таким образом проекция заданной точки на заданную прямую (-2,6; 0,8)