Question

Знайти границю функції, не користуючись правилом Лопітоля.

хелп...​

Answer 1

Ответ:

Вычислить пределы функций .

1)  Домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряжённое числителю .

$\bf \displaystyle \lim\limits_{h \to 0}\, \dfrac{\sqrt[3]{\bf x-h}-\sqrt[3]{\bf x}}{h}=\Big[\dfrac{0}{0}\Big]=\\\\\\=\lim\limits_{h \to 0}\, \dfrac{(\sqrt[3]{\bf x-h}-\sqrt[3]{\bf x})(\sqrt[3]{\bf (x-h)^2}+\sqrt[3]{\bf x(x-h)}+\sqrt[3]{\bf x^2})}{h\cdot (\sqrt[3]{\bf (x-h)^2}+\sqrt[3]{\bf x(x-h)}+\sqrt[3]{\bf x^2})}=\\\\\\=\lim\limits_{h \to 0}\, \dfrac{(x-h)-x}{h\cdot (\sqrt[3]{\bf (x-h)^2}+\sqrt[3]{\bf x(x-h)}+\sqrt[3]{\bf x^2})}=$                

$\bf =\lim\limits_{h \to 0}\ \dfrac{-h}{h\cdot (\sqrt[3]{\bf (x-h)^2}+\sqrt[3]{\bf x(x-h)}+\sqrt[3]{\bf x^2})}=\\\\\\=\lim\limits _{h \to 0}\ \dfrac{-1}{\sqrt[3]{\bf (x-h)^2}+\sqrt[3]{\bf x(x-h)}+\sqrt[3]{\bf x^2}}=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{\bf x^2}+\sqrt[3]{\bf x^2}+\sqrt[3]{\bf x^2}}=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\bf x^2}}$    

2)  Заменяем бесконечно малые величины эквивалентными .

$\bf \lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{1-sin\dfrac{x}{2}}{\pi -x}=\Big[\dfrac{0}{0}\Big]=\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{1-cos\Big(\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{x}{2}\Big)}{\pi -x}=\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{2\ sin^2\Big(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x}{4}\Big)}{\pi -x}=\\\\\\=\Big[\ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \alpha (x)\to 0\ \Big]=\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{2\cdot \Big(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x}{4}\Big)^2}{\pi -x}=$  

$\bf =\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{2\cdot \dfrac{(\pi -x)^2}{16}}{\pi -x}=\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{(\pi -x)^2}{8\cdot (\pi -x)}=\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{(\pi -x)}{8\cdot 1}=\dfrac{0}{8}=0$      

3)  Вторoй замечательный предел :  $\bf \lim\limits_{g(x) \to \infty}\ \Big(1+\dfrac{1}{g(x)}\Big)^{g(x)}=e$        

$\bf \lim\limits_{x\to \infty}\ \Big(\dfrac{x^2-1}{x^2}\Big)^{2x^2+1}=\Big[\, 1^{\infty }\, \Big]=\lim\limits_{x\to \infty}\ \Big(1+\dfrac{-1}{x^2}\Big)^{2x^2+1}=\\\\\\=\lim\limits_{x\to \infty}\ \Big(\Big(\dfrac{x^2-1}{x^2}\Big)^{\frac{x^2}{-1}}\Big)^{-\frac{2x^2+1}{x^2}}=e^\ {\lim\limits_{x\to \infty}\frac{-2x^2-1}{x^2}}}=e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}$