Question

Скласти рівняння лінії, кожна точка М(x;y) якої знаходиться від точки А(5;0) на відстані більшій у два рази, ніж від прямої х=-2

Answer 1

Щоб скласти рівняння лінії, спочатку знайдемо рівняння прямої х = -2.

Рівняння прямої х = -2 є горизонтальною прямою, яка проходить через точки (-2,0) та (-2,1), так як усі значення x відповідають -2.

Тепер, щоб знайти рівняння лінії, кожна точка М(x;y) якої знаходиться від точки А(5;0) на відстані більшій у два рази, ніж від прямої х=-2, ми можемо скористатися формулою відстані між двома точками у декартовій системі координат:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

де (x1,y1) - координати точки А(5;0) і (x2,y2) - координати точки М(x;y).

Відстань від прямої х = -2 до точки (x,y) дорівнює |x - (-2)|, що спрощується до |x + 2|.

Згідно умови, ця відстань повинна бути більшою в два рази, ніж відстань від точки А(5;0) до точки (x,y).

Тому, ми отримуємо рівняння:

| x + 2 | = 2 * d = 2 * sqrt((x - 5)^2 + (y - 0)^2)

Займемося подальшою спрощенням цього рівняння.

Перш за все, ми можемо позбутися модуля зліва, зробивши обидві частини рівняння піднесеними до квадрату:

(x + 2)^2 = 4 * ((x - 5)^2 + y^2)

Потім розкривши скобки і спрощуючи, ми отримаємо:

x^2 + 4x + 4 = 4x^2 - 40x + 100 + 4y^2

-3x^2 + 44x - 96 + 4y^2 = 0

Таким чином, рівняння лінії, кожна точка М(x;y) якої знаходиться від точки А(5;0) на відстані більшій у два рази, ніж від прямої х = -2, має вигляд:

-3x^2 + 44x - 96 + 4y^2 = 0