Question

Допоможіть, будь ласка
100 балів

Answer 1

Ответ:

Вычислить интеграл .

Метод замены переменной .

$\displaystyle \bf 1)\ \ \int x^2\cdot 3^{x^3}\, dx=\Big[\ t=x^3\ ,\ dt=3x^2\, dx\ \Big]=\frac{1}{3}\int 3^{t}\, dt=\\\\=\frac{3^{t}}{3\cdot ln3}+C=\frac{3^{x^3}}{3\cdot ln3}+C\\\\\\2)\ \ \int\frac{dx}{\sqrt{x}\cdot sin^2 \sqrt{x}}=\Big[\ t=\sqrt{x}\ ,\ dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\ \Big]=2\int \frac{dt}{sin^2t}=\\\\\\=-2\cdot ctg\, t+C=-2\cdot ctg\, \sqrt{x}+C$  

$\bf \displaystyle 4)\ \ \int \frac{x^2\, dx}{4+x^6}=\Big[\ t=x^3\ ,\ dx=3x^2\, dx\ \Big]=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{4+t^2}=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot arctg\frac{t}{2}+C=\frac{1}{3}\cdot arctg\frac{x^3}{2}+C\\\\\\5)\ \ \int x^4\cdot sin\, x^5\, dx=\Big[\ t=x^4\ ,\ dx=5x^4\, dx\ \Big]=\frac{1}{5}\int sin\, t\, dt=\\\\\\=\frac{1}{5}\cdot (-cos\, t)+C=- \frac{1}{5}\cdot cos\, x^5+C$  

$\bf \displaystyle 6)\ \ \int \frac{e^{x}\, dx}{9+e^{x}}=\Big[\ t=9+e^{x}\ ,\ dx=e^{x}\, dx\ \Big]=\int \frac{dt}{t}=ln|\, t\, |+C=\\\\\\=ln|\, 9+e^{x}\, |+C$