1. Определите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=2х3, осью х и прямыми х=1 и х=3. Сделайте схематический рисунок.
2. В некоторой популяции 15% мужчин и 20% женщин являются близорукими. Считая, что количество мужчин в популяции составляет 30%, а женщин - пого, что любой случайно выбранный 70%, рассчитайте вероятность человек окажется близоруким. Если случайно отобранный человек оказался близоруким, то какова вероятность, что это был мужчина?
3. Запишите уравнение для смещения материальной точки от положения равновесия при
совершении ею гармонических колебаний по закону синуса. Амплитуда колебаний 30 мм,
начальное смещение 10 мм. Масса материальной точки 40 г. Коэффициент упругости
(жесткость) пружины, связанной с материальной точкой, равен 4 Н/м. 4. Звуковая волна с улицы, пройдя через закрытое окно, ослабилась с 80 до 40 дБ. Во сколько раз уменьшилась интенсивность звука? (v=1000 Гц).
5. На поршень горизонтально расположенного шприца диаметром 1 см, воздействуют силой 10 Н. В шприце находится жидкость плотностью 1000 кг/м³. С какой скоростью будет вытекать жидкость из иглы? (Диаметр иглы считать малым и скоростью движения поршня пренебречь
Ответы
1. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=2x^3, осью x и прямыми x=1 и x=3, можно найти как интеграл функции y=2x^3 на отрезке от 1 до 3. Подсчитаем:
∫(от 1 до 3) 2x^3 dx = [x^4] от 1 до 3
= 3^4 - 1^4
= 81 - 1
= 80
Итак, площадь фигуры равна 80 квадратных единиц.
2. Вероятность того, что случайно выбранный человек окажется близоруким, можно посчитать как сумму вероятностей для мужчин и женщин:
P(близорукий) = P(близорукий|мужчина) * P(мужчина) + P(близорукий|женщина) * P(женщина)
= 0.15 * 0.3 + 0.20 * 0.7
= 0.045 + 0.14
= 0.185
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный человек окажется близоруким, составляет 18.5%.
Вероятность того, что близорукий человек - мужчина, можно посчитать как отношение вероятности близорукого мужчины к общей вероятности близорукого человека:
P(мужчина|близорукий) = P(близорукий|мужчина) * P(мужчина) / P(близорукий)
= 0.15 * 0.3 / 0.185
≈ 0.243
Таким образом, если случайно выбранный человек оказался близоруким, то вероятность того, что это был мужчина, составляет примерно 24.3%.
3. Уравнение для смещения материальной точки от положения равновесия при совершении ею гармонических колебаний по закону синуса имеет вид:
x(t) = A * sin(ωt + φ)
где x(t) - смещение в момент времени t,
A - амплитуда колебаний,
ω - циклическая частота (ω = √(k/m)),
t - время,
φ - начальная фаза.
Для данного примера:
A = 30 мм = 0.03 м
начальное смещение (x(0)) = 10 мм = 0.01 м
m = 40 г = 0.04 кг
k = 4 Н/м
ω = √(4/0.04) = √100 = 10 рад/с
Таким образом, уравнение для смещения материальной точки будет:
x(t) = 0.03 * sin(10t + φ)
4. Интенсивность звука связана с уровнем звукового давления по формуле I = P^2 / (2ρv), где P - амплитуда звукового давления, ρ - плотность среды, v - скорость звука в среде.
Поскольку уровень звука измеряется в децибелах (dB), то изменение интенсивности звука можно найти по формуле:
ΔI/I = (ΔP/P)^2
где ΔI/I - относительное изменение интенсивности звука,
ΔP/P - относительное изменение амплитуды звукового давления.
Изменение уровня звука измеряется в децибелах:
ΔL = 10 * log10(I2/I1)
где ΔL - изменение уровня звука,
I2/I1 - отношение интенсивностей звука до и после изменения.
В данном случае:
ΔL = 10 * log10(40/80) = -3 дБ
Таким образом, уровень звука уменьшился в 3 раза.
5. Скорость вытекания жидкости из иглы можно найти используя уравнение Бернулли для жидкости:
P + (1/2)ρv1^2 + ρgh1 = P + (1/2)ρv2^2 + ρgh2
где P - давление жидкости,
ρ - плотность жидкости,
v1 - скорость жидкости в шприце,
v2 - скорость жидкости в игле,
h1 - высота уровня жидкости в шприце,
h2 - высота уровня жидкости в игле.
Поскольку уровни жидкости одинаковы (h1 = h2), то уравнение упрощается до:
(1/2)ρv1^2 = (1/2)ρv2^2
Отсюда можно выразить скорость вытекания из иглы:
v2 = v1 * √(A2/A1)
где A1 и A2 - площади поперечных сечений шприца и иглы соответственно.
Диаметр шприца равен 1 см, поэтому его радиус r1 = 0.005 м.
Диаметр иглы можно считать малым, поэтому будем считать что A1 ≈ A2.
Таким образом,
v2 ≈ v1 * √(πr1^2 / πr2^2)
= v1 * √(r1^2 / r2^2)
= v1 * r1 / r2
= v1 * (0.005 м) / r2
Поскольку значение r2 не дано, мы не можем точно рассчитать скорость вытекания из иглы без этой информации.
[ Простите если неправильно.. ]