Розв'язати дві задачі:
Розв'язати рівняння:
1/2(sin4x*sinx)+sin2x*sinx=2cos²x.
Поясніть будь-ласка дуже чітко.
Ответы
Ответ:
**Розв'язання рівняння:**
\[ \frac{1}{2}(\sin(4x)\sin(x)) + \sin(2x)\sin(x) = 2\cos^2(x) \]
1. **Використовуємо тригонометричні тотожності:**
- Використаємо тотожність \(\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)\) та \(\cos^2(A) = 1 - \sin^2(A)\).
- Перепишемо рівняння, замінюючи \(\sin(4x)\) та \(\sin(2x)\) за вказаними тотожностями.
\[ \frac{1}{2}(2\sin(2x)\cos(2x)\sin(x)) + 2\sin(x)\cos(x)\sin(x) = 2(1 - \sin^2(x)) \]
2. **Спростимо вирази:**
- Зведемо подібні доданки, замінимо \(\sin^2(x)\) за \(\cos^2(x)\).
- Отримаємо нове рівняння вигляду \(\sin(x)\cos(x) = 0\).
3. **Знаходимо корені:**
- Розглядаємо дві можливості: \(\sin(x) = 0\) або \(\cos(x) = 0\).
- Знаходимо корені: \(x = k\pi\), де \(k\) - ціле число.
Таким чином, рішення рівняння це \(x = k\pi\), де \(k\) - ціле число.