Question

Потрібно довести тотожність (5/(y + 5) - 5/(5 - y) + (y ^ 2 + 25)/(y ^ 2 - 25)) * (y + 5)/(y ^ 2 + 10y + 25) = 1/(y - 5)

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Требуется доказать тождество

$\tt \displaystyle \bigg (\frac{5}{y+5}-\frac{5}{5-y}+\frac{y^2+25}{y^2-25} \bigg ) \cdot \frac{y+5}{y^2+10 \cdot y+25}=\frac{1}{y-5}$.

Формулы сокращённого умножения.

1) (a+b)² = a² + 2·a·b + b²;

2) a²-b² = (a-b)·(a+b).

Доказательство. Упростим правую часть равенства и покажем, что равна левой части равенства.

$\tt \displaystyle \bigg (\frac{5}{y+5}-\frac{5}{5-y}+\frac{y^2+25}{y^2-25} \bigg ) \cdot \frac{y+5}{y^2+10 \cdot y+25}=\\\\=\bigg (\frac{5}{y+5}+\frac{5}{y-5}+\frac{y^2+25}{(y-5) \cdot (y+5)} \bigg ) \cdot \frac{y+5}{(y+5)^2}= \\\\=\bigg ( \frac{5 \cdot (y-5)}{(y-5) \cdot (y+5)}+\frac{5 \cdot (y+5)}{(y-5) \cdot (y+5)}+\frac{y^2+25}{(y-5) \cdot (y+5)} \bigg ) \cdot \frac{1}{y+5}= \\\\=\bigg (\frac{5 \cdot (y-5)+5 \cdot (y+5)+y^2+25}{(y-5) \cdot (y+5)} \bigg ) \cdot \frac{1}{y+5}=$

$\tt \displaystyle =\frac{5 \cdot y-25+5 \cdot y+25+y^2+25}{(y-5) \cdot (y+5)} \cdot \frac{1}{y+5}= \\\\=\frac{y^2+10 \cdot y +25}{(y-5) \cdot (y+5)^2 } =\frac{(y+5)^2}{(y-5) \cdot (y+5)^2 } =\frac{1}{y-5},$

что и требовалось доказать.

#SPJ1