Question

Заполните пропуски, заполненные пропуски без пояснений не принимаются

Answer 1

Ответы будут идти сверху вниз по порядку

Первая часть

1. 16, так как 64/4
2. 15 = 16-1 - в связном графе на n≥1 вершинах хотя бы n-1 ребро (иначе нет остовного дерева)
3. Каждое ребро соединяет ровно 2 клетки, у которых ровно 1 общее ребро, учтённое в каждой клетке (то есть учтённое 2 раза, поскольку ребро однозначно определяется парой соседних клеток)
4. Каждому ребру соответствуют только стороны, не вошедшие в периметр, у каждого их 2.
5. Не менее 30=2·15, поскольку рёбер хотя бы 15, а сторон для каждого ребра ровно 2.
6. В многоугольнике ровно 16 клеток, как мы выяснили. Каждой соответствует ровно 4 стороны.
7. Каждая из 64 сторон либо на периметре, либо нет. Не на периметре - хотя бы 30. Значит, на периметре - не более 64-30=34

Вторая часть

Правая верхняя и левая нижняя - единственные, для которых достигается равенство. Условию удовлетворяют только такие многоугольники, для которых все неравенства в рассуждении обращаются в равенства. В частности, равенство на количество рёбер. Связный граф, в котором рёбер на 1 меньше, чем вершин, - дерево, то есть связный граф без циклов