Question

Допоможіть знайти первісну

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle\\F(x)=-\frac{1}{4}}cot\left(4x-\frac{\pi}{12} \right)\right)+\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Объяснение:

$f(x)=\dfrac{1}{sin^2\left(4x-\dfrac{\pi}{12}\right)}$

Чтобы найти первообразную функцию  $F(x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f(x)$:

$\displaystyle F(x)=\int f(x) \ dx\\\\\\F(x)=\int \dfrac{1}{sin^2\left(4x-\dfrac{\pi}{12}\right)} \ dx\\\\\\================\\\\dx=\frac{1}{t'}\times dt\\\\\\t=4x-\frac{\pi}{12}; \qquad t '=4\\\\================\\\\\\F(x)=\int \dfrac{1}{sin^2\left(t\right)}\times\frac{1}{4} \ dt'\\\\\\F(x)=\dfrac{1}{4}\int \dfrac{1}{sin^2\left(t\right)} \ dt'\\\\\\================\\\\\int\frac{1}{sin^2(x)}dx=-cot(x)\\\\================\\\\\\F(x)=\frac{1}{4}\left( \rule{0pt}{1em} -cot(t) \right)+C$

$\displaystyle\\F(x)=-\frac{1}{4}}cot\left(4x-\frac{\pi}{12} \right)\right)+C$

По условию задачи:

$M\left(\dfrac{\pi}{16}; \ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Чтобы найти константу, подставим точки через которые проходит первообразная функция:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{4}cot \left(4\times\dfrac{\pi}{16}-\dfrac{\pi}{12}\right)+C\\\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{4}cot \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{12}\right)+C\\\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{4}cot \left(\dfrac{\pi}{6}\right)+C\\\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{4}\times \sqrt{3}+C\\\\\\-C=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\-C=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\\\C=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Тогда, первообразная функция будет выглядеть следующим образом:

$\displaystyle\\F(x)=-\frac{1}{4}}cot\left(4x-\frac{\pi}{12} \right)\right)+\frac{3\sqrt{3}}{4}$