Question

Исследовать на экстремум функцию z=^(2)+y^(2)-12x+16y

Answer 1

Для знаходження екстремумів функції \( z = x^2 + y^2 - 12x + 16y \), спробуємо знайти часткові похідні за \( x \) та \( y \) та прирі
2. Часткова похідна за \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y + 16 \]

Тепер прирівняємо обидві часткові похідні до нуля:

1. \[ 2x - 12 = 0 \]
\[ 2x = 12 \]
\[ x = 6 \]

2. \[ 2y + 16 = 0 \]
\[ 2y = -16 \]
\[ y = -8 \]

Отже, знайдені значення \( x = 6 \) та \( y = -8 \) є кандидатами на екстремум.

Тепер використаємо другі часткові похідні для визначення типу екстремуму:

3. Часткова похідна другого порядку за \( x \):
\^2 z}{\ x^2} = 2 \]

4. Часткова похідна другого порядку за \( y \):
\[^2 y^2} = 2 \]

Отже, обидві часткові похідні другого порядку є додатніми константами.

Ми можемо скласти