Question

90 БАЛЛОВ
Побудуйте графік функції y = −x2 - 4x - 5. За графіком знайдіть:
1) Область визначення функції
2) Область значень функції
3) Нулі функції
4) Найбільше та найменше значення функції
5) Проміжки зростання та спадання функції
6) Проміжки знакосталості

Answer 1

Щоб побудувати графік функції y = -x^2 - 4x - 5, ми можемо скористатися канонічною формою квадратного тричлена: y = a(x-h)^2 + k, де a, h та k - це коефіцієнти функції.

У нашому випадку, a = -1, h = -2 та k = -5.

1) Область визначення функції:
Область визначення функції - це множина значень x, для яких функція має значення. У нашому випадку, функція є квадратичною функцією, тому вона визначена для будь-якого значення x. Тобто, область визначення функції - це всі дійсні числа.

2) Область значень функції:
Область значень функції - це множина значень y, які функція може приймати. У нашому випадку, оскільки коефіцієнт a від'ємний, функція має максимальне значення, але не має мінімального значення. Тобто, область значень функції - це всі дійсні числа менше або дорівнює -5.

3) Нулі функції:
Нулі функції - це значення x, для яких функція дорівнює нулю. Щоб знайти нулі функції, ми можемо вирішити рівняння -x^2 - 4x - 5 = 0. Застосовуючи квадратне рівняння, ми отримуємо два нулі: x = -5 і x = 1.

4) Найбільше та найменше значення функції:
Оскільки коефіцієнт a від'ємний, найбільше значення функції буде досягнуто при x = -2. Підставляючи це значення в функцію, ми отримуємо y = -(-2)^2 - 4(-2) - 5 = -1. Таким чином, найбільше значення функції дорівнює -1.

5) Проміжки зростання та спадання функції:
Функція зростає, коли значення x збільшуються, і спадає, коли значення x зменшуються. Оскільки коефіцієнт a від'ємний, функція буде спадати на всій області визначення.

6) Проміжки знакосталості:
Щоб знайти проміжки знакосталості, ми можемо розглянути знак функції у різних діапазонах значень x. Оскільки коефіцієнт a від'ємний, функція буде мати негативний знак на всій області визначення. Тобто, функція завжди буде менше за нуль.