Question

Для функції f(x) знайдіть таку первісну, щоб її графік проходив через точку P, якщо
а) f(x)=1+x², P(–3; 9)
б( f(x)= x+ 1/cos²x, P(0; -3)

Answer 1

Ответ:

a)  Найдём семейство  первообразных для функции  $\bf f(x)=1+x^2$  

$\bf \displaystyle F(x)=\int (1+x^2)\, dx=x+\frac{x^3}{3}+C\ ;$  

Найдём первообразную, график  которой проходит через точку  

Р( -3 ; 9 ) .

$\bf x=-3\ ,\ \ F(-3)=9\ \ \Rightarrow \ \ \ F(-3)=-3+\dfrac{(-3)^3}{3}+C\ \ ,\ \ -12+C=9\ \ ,\\\\C=21\ \ .\\\\F(x)\Big|_{P}=x+\dfrac{x^3}{3}+21$    

б)  Найдём семейство  первообразных для функции  $\bf f(x)=x+\dfrac{1}{cos^2x}$  

$\bf \displaystyle F(x)=\int (x+\dfrac{1}{cos^2x})\, dx=\frac{x^2}{2}+tg\, x+C\ ;$  

Найдём первообразную, график  которой проходит через точку  

Р( 0 ; -3 ) .

$\bf x=0\ ,\ \ F(0)=-3\ \ \Rightarrow \ \ \ F(0)=0+tg0+C\ \ ,\ \ 0+C=-3\ \ ,\\\\C=-3\ \ .\\\\F(x)\Big|_{P}=\dfrac{x^2}{2}+tg\, x-3$