Question

В правильном тетраэдре ABCD точка K – середина BD, точка M – середина BC. Найди косинус угла между прямыми AK и DM.​

Answer 1

Угол между скрещивающимися прямыми - угол между параллельными им пересекающимися прямыми.

Проведем KL||DM в грани BDC

∠(AK,DM) =∠(AK,KL) =∠AKL

Правильный тетраэдр, все грани - равные равносторонние треугольники.

Пусть все ребра тетраэдра 4

DM =BD sin60 =4 √3/2 =2√3 (DM - медиана и высота)

DM =AM =AK =2√3 (соответствующие медианы в равных треугольниках)

KL =DM/2 =√3 (KL - cредняя линия △DBM)

LM =BM/2 =1

△ALM, т Пифагора

AL^2 =√(AM^2+LM^2) =√13

△AKL, т косинусов

AL^2 =AK^2 +KL^2 -2AK*KL*cos(AKL)

$cos(AKL)=\frac{ AK^2 + KL^2 -AL^2 }{ 2AK \cdot KL }=\frac{4 \cdot 3+3-13}{2\cdot2\cdot3} =\frac{1}{6}$