Question

y²-y=e², y(0)=1, y′(0)=2
​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y(x) =\frac{1}{2} \bigg((-1+e^2)e^{-x}\;+\;(3+e^2)e^x\;-\;2e^2\bigg)$

Объяснение:

У нас задача Коши для неоднородного уравнения второго порядка.

1) решим  соответствующее однородное уравнение при помощи характеристического уравнения.

положим    $\displaystyle y(x)=e^{\lambda x}$

тогда

$\displaystyle (e^{\lambda x})''-e^{\lambda x}=0\\\\\lambda ^2e^{\lambda x}-e^{\lambda x}=0\\\\e^{\lambda x} (\lambda ^2-1)=0\quad \lambda_1=-1;\quad \lambda_2=1$

$\displaystyle \lambda_1=-1$   дает нам решение  y₁(x) = c₁e⁻ˣ

$\displaystyle \lambda_2=1$     дает нам решение  y₂(x) = c₂eˣ

общее решение однородного уравнения

$\displaystyle y_c(x) = y_1(x) + y_2(x) = c_1e^{-x} + c_ce^x$

2) теперь найдем какое-либо частное решение  неоднородного уравнения

в виде   $\displaystyle y_p(x)=a_1$

$\displaystyle (y_p(x))''=(a_1)'' = 0\\\\\\( (y_p(x))''-y_p(x) =e^2\\\\0-y_p(x) =e^2\\\\y_p(x) = -e^2$

3) можем написать общее решение неоднородного уравнения

$\displaystyle y(x) = y_c(x)+y_p(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{-x}-e^2$

4) найдем  решение, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

y(0) = 1

c₁e⁻⁰ + c₂e⁰ -e² = 1

y'(0) = 2

y'(x) = (c₁e⁻ˣ + c₂eˣ -e²)' = -c₁e⁻ˣ + c₂eˣ

y'(0) = -c₁ + c₂

-c₁ + c₂= 2

$\displaystyle \left \{ {{c_1+c_2-e^2=1} \atop {-c_1+c_2=2\hfill}} \right. \left \{ {{c_2-2+c_2-e^2=1} \atop {c_1=c_2-2\hfill}} \right. \left \{ {{2c_2=3+e^2} \atop {c_=c_2-2\hfill}} \right. \\\\\\\left \{ {{c_2=0.5(3+e^2)\hfill} \atop {c_1=0.5(-1+e^2)}} \right.$

5) полное решение неоднородного дифференциального уравнения с начальными условиями.

$\displaystyle y(x) =\frac{1}{2} \bigg((-1+e^2)e^{-x}\;+\;(3+e^2)e^x\;-\;2e^2\bigg)$