Question

Составь квадратное уравнение с корнями -2 + √5 и -2 - √5
x^2 - 4x - 1 = 0
x^2 - 4x + 1 = 0
x^2 + 4x + 1 = 0

Answer 1

Ответ:

1 способ.

Если уравнение квадратное , то его можно разложить на множители таким образом  $\bf (x-x_1)(x-x_2)=0$  ,  где х₁  и  х₂ - корни квадратного уравнения .

$\bf x_1=-2+\sqrt5\ \ ,\ \ x_2=-2-\sqrt5\\\\(x-x_1)(x-x_2)=(x+2-\sqrt5)(x+2+\sqrt5)=\\\\=x^2+x(2+\sqrt5)+x(2-\sqrt5)+(2-\sqrt5)(2+\sqrt5)=x^2+(2+\sqrt5+2-\sqrt5)+\\\\+(2^2-(\sqrt5)^2)=x^2+4x+(4-5)=x^2+4x-1\\\\\underline{\ x^2+4x-1=0\ }$  

2 способ.

Можно применить обратную теорему для теоремы Виета :  $\bf x_1\cdot x_2=q\ \ ,\ \ x_1+x_2=-p$  ,  если   $\bf x^2+px+q=0$  .

$\bf x_1\cdot x_2=(-2+\sqrt5)(-2-\sqrt5)=-(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=\\\\=-\Big((-2)^2-(\sqrt5)^2\Big)=-(4-5)=1\ \ \Rightarrow \ \ \ q=1\\\\x_1+x_2=(-2+\sqrt5)+(-2-\sqrt5)=-4\ \ \ \ \Rightarrow \ \ p=+4\\\\\underline{x^2+4x-1=0}$