Question

найдите решение уравнения tgxsinx-cosx=1/2cosx на промежутке (0;90°)​

Answer 1

Ответ:

60° - единственное решение заданного уравнения на промежутке (0°; 90°)

Решение:

$\mathrm{tg}\,x\sin x-\cos x=\dfrac{1}{2\cos x}$

Распишем тангенс:

$\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \sin x-\cos x=\dfrac{1}{2\cos x}$

Сразу отметим ОДЗ:

$\cos x\neq 0\Rightarrow x\neq 90^\circ+180^\circ n,\ n\in\mathbb{Z}$

Теперь умножим обе части уравнения на $\cos x\neq 0$:

$\sin^2 x-\cos^2 x=\dfrac{1}{2}$

$\cos^2 x-\sin^2 x=-\dfrac{1}{2}$

В левой части уравнения применим формулу косинуса двойного угла:

$\cos2x=-\dfrac{1}{2}$

$2x=\pm\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)+360^\circ n$

$2x=\pm120^\circ+360^\circ n$

$\underline{x=\pm60^\circ+180^\circ n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Выполним отбор корней. Для первой серии корней получим:

$0^\circ < 60^\circ+180^\circ n < 90^\circ$

$0^\circ-60^\circ < 180^\circ n < 90^\circ-60^\circ$

$-60^\circ < 180^\circ n < 30^\circ$

$-\dfrac{60^\circ}{180^\circ} < n < \dfrac{30^\circ}{180^\circ}$

$-\dfrac{1}{3} < n < \dfrac{1}{6}$

Единственное целое число, принадлежащее полученному интервалу, - это число 0.

При $n=0$:

$x=60^\circ+180^\circ \cdot 0=\boxed{60^\circ}$

Для первой серии корней получим:

$0^\circ < -60^\circ+180^\circ n < 90^\circ$

$0^\circ+60^\circ < 180^\circ n < 90^\circ+60^\circ$

$60^\circ < 180^\circ n < 150^\circ$

$\dfrac{60^\circ}{180^\circ} < n < \dfrac{150^\circ}{180^\circ}$

$\dfrac{1}{3} < n < \dfrac{5}{6}$

Целых чисел, принадлежащих полученному интервалу, нет.

Значит, найденное ранее решение (60°) - единственное на заданном промежутке.

Элементы теории:

Формула для выражения тангенса через синус и косинус:

$\mathrm{tg}\,\alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha$