Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагональ AC длины 9 является биссектрисой тупого угла BAD и делит этот четырехугольник на два треугольника с площадями $6\sqrt{2}$ и $12\sqrt{2}$. Найти длину диагонали BD. В ответ записать квадрат диагонали BD, умноженный на 9.

Answer 1

Ответ:

544 или 292.

Объяснение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагональ AC длины 9 является биссектрисой тупого угла BAD и делит этот четырехугольник на два треугольника с площадями  6√2 и 12√2. Найти длину диагонали BD. В ответ записать квадрат диагонали BD, умноженный на 9.

Дано: ABCD вписан в Окр.О;

АС = 9 - диагональ, биссектриса;

S(CDA) = 6√2;   S(CAB) = 12√2.

Найти: BD.

Решение:

Проведем медиану СК в ΔСАВ.

1. Пусть ∠DAC = ∠CAB = α

• Площадь треугольника:

                     $\boxed {\displaystyle \bf S=\frac{1}{2}ab\;sin\alpha }$,

где a и b - стороны треугольника, α - угол между ними.

$\displaystyle \frac{S(CAD)}{S (CAB)}= \frac{\frac{1}{2}AD\cdot AC\;sin\alpha }{\frac{1}{2}AB\cdot AC\;sin\alpha } \\\\\frac{6\sqrt{2} }{12\sqrt{2} } =\frac{AD}{AB} =\frac{1}{2}$

Пусть AD = a, тогда AB = 2a

2. По свойству биссектрисы треугольника:

$\displaystyle \frac{DE}{EB}=\frac{DA}{AB}=\frac{1}{2}$

Пусть DE = m, тогда ЕВ = 2m, а BD = 3m.

3. ∠DAC = ∠CAB - вписанные   ⇒  ◡СD = ◡CB

• Равные дуги стягивают равные хорды.

⇒ CD = CB.

Пусть CD = CB = с

4. ΔCDA = ΔCAK (AC - общая, DA = AK, ∠DAC = ∠CAB, 1 признак)

⇒ CD = CK = c

5. Рассмотрим ΔCKВ.

По теореме косинусов:

$\displaystyle CK^2=CB^2+BK^2-2\cdot CB\cdot BK \cdot cosB\\\\c^2=c^2+a^2-2ac\;cosB\;\;\;\Rightarrow \;\;\; \bf cosB=\frac{a}{2c}$

6. Рассмотрим ΔCDA.

• Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

⇒ cos D = cos (180° - ∠B) = -cos B

По теореме косинусов:

$\displaystyle AC^2 = DA^2 + DC^2 - 2DA \cdot DC \cdot cosB\\\\81=a^2+c^2+2\cdot ac\cdot \frac{a}{2c} \;\;\;\Rightarrow \;\;\; \bf c^2=81-2a^2\;\;\;(1)$

$\displaystyle S(CDA)=\frac{1}{2}a\cdot9\cdot sin\; \alpha =6\sqrt{2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \bf sin\;\alpha = \frac{4\sqrt{2} }{3a}$

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем cos α:

$\displaystyle cos\;\alpha =\sqrt{1-sin^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{32}{9a^2} } = \bf \frac{\sqrt{9a^2-32} }{3a}$

7. Рассмотрим ΔCEB и ΔCBA.

∠DAС = ∠CAB (условие)

∠DAC = ∠CBD  (вписанные, опираются на одну дугу)

⇒ ∠САВ = ∠CBD

∠АСВ - общий

⇒ ΔCEB ~ ΔCBA (по двум углам)

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{EB}{AB}=\frac{CE}{CB}=\frac{CB}{AC}$

$\displaystyle \frac{CE}{CB}=\frac{CB}{AC}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{CE}{c} =\frac{c}{9}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;CE=\frac{c^2}{9} \\\\ \bf AE= 9-\frac{c^2}{9}=\frac{81-c^2}{9}=\frac{81-81+a^2}{9}=\bf \frac{2a^2}{9}$

$\displaystyle \frac{EB}{AB}=\frac{CB}{AC}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{2m}{2a}=\frac{c}{9} \;\;\;\Rightarrow \;\;\;m=\frac{ac}{9} \;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf BD=\frac{ac}{3}$

8. Рассмотрим ΔDAB.

• Формула биссектрисы угла треугольника:

                       $\boxed {\displaystyle \bf L=\frac{2ab\cdot cos\frac{\gamma}{2} }{a+b} }$ ,

где а и b - сторона угла γ, из вершины которого проведена биссектриса.

$\displaystyle AE=\frac{2\cdot DA\cdot AB\cdot cos\;\alpha }{DA+AB} \\\\\frac{2a^2}{9}=\frac{2a\cdot2a\cdot \sqrt{9a^2-32} }{3a\cdot 3a} \\\\a^2=2\sqrt{9a^2-32} \\\\a^4-36a^2+128=0$

a² = t,     t > 0

$\displaystyle t^2-36t+128=0\\\\\sqrt{D}=\sqrt{1296-512}=28\\ \\ t_1=\frac{36+28}{2}=32;\;\;\;\;\;t_2=\frac{36-28}{2}=4$

Отрицательные значения не подходят по условию задачи.

$\displaystyle 1.\;a=\sqrt{32}\\ \\c^2=81-2\cdot 32 = 17\\\\c=\sqrt{17}\\ \\BD=\frac{\sqrt{544} }{3}$                    $\displaystyle 2.\;a=2\\ \\c^2=81-2\cdot 4 = 73\\\\c=\sqrt{73}\\ \\BD=\frac{\sqrt{292} }{3}$

...В ответ записать квадрат диагонали BD, умноженный на 9.

⇒   544 или 292.

#SPJ1