Question

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см,а гострий кут 45°. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

Answer 1

Ответ:

Радіус кола, вписаного  трикутник дорівнює 5(√2-1) см

Объяснение:

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см,а гострий кут 45°. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

Дано: ΔАВС, ∠В = 90°, ∠С = 45°, АС = 10 см

Знайти: r

Розв'язання

1.

За умовою, ΔАВС - прямокутний, ∠В = 90°.

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника:

∠А + ∠С = 90°; ∠В = 90° - ∠С = 90° - 45° = 45°.

Отже, ΔАВС - рівнобедрений з  основою АС.

⇒ АВ = ВС - як бічні сторони рівнобедреного трикутника.

2.

За означенням косинуса гострого кута прямокутного триутника:

$cos \angle C = \dfrac{BC}{AC}$

ВС = АВ =  АС · соs 45° = 10 · √2/2 = 5√2 (см)

3.

Радіус вписаного кола в прямокутний трикутник можна знайти за формулою:

$\boxed{\bf r=\frac{a+b-c}{2} }$

де a i b - катети, а с - гіпотенуза.

У нашому випадку, а = b = 5√2 cм, с = 10 см.

Тоді:

$r = \frac{5\sqrt{2} +5\sqrt{2} -10}{2} =\frac{10(\sqrt{2}-1) }{2} =\bf 5(\sqrt{2}-1)$  см

Відповідь: 5(√2-1) см, або приблизно 2,07 см

#SPJ1