Площина а проходить через вершини А і С трикутника АВС та точ ку N - середину сторони АВ. Доведіть, що центр кола, вписаного в трикутник АВС, належить площині a.
Ответы
Ответ:
Доведення, що центр кола, вписаного в трикутник АВС, належить площині а, може бути здійснено за допомогою геометричних властивостей.
Позначимо центр кола, вписаного в трикутник АВС, як I.
Також позначимо точку дотику цього кола до сторони АВ як D, до сторони АС як F, а до сторони ВС як E.
За властивостями кола, точки дотику будуть євдідальною відстанню від центру I до відповідних сторін трикутника: AI = ID, CI = IF та BI = IE.
Оскільки точка N є серединою сторони АВ, то AN = NB.
Аналогічно з точкою N належить сторона АС.
З урахуванням цих відношень, ми можемо сказати, що точка N лежить на перпендикулярних бісектрисах трикутника АВС.
Оскільки точки D, E та F є точками перетину бісектрис з відповідними сторонами трикутника, вони також лежать на перпендикулярних бісектрисах.
Отже, точки D, E та F лежать в одній площині а.
Так як центр кола I є точкою перетину всіх бісектрис трикутника, то він також лежить у площині а.
З цим доведенням ми показали, що центр кола, вписаного в трикутник АВС, належить площині а.