Question

найдите значение выражения 5 cos(-П+B) + 4 cos(-П/2 + B), если cos B = -8/9

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{40+4\sqrt{17} }{9}$, если угол B принадлежит второй четверти;

$\dfrac{40-4\sqrt{17} }{9}$, если угол B принадлежит третьей четверти

Решение:

Воспользуемся формулами приведения и упростим выражение:

$5 \cos(-\pi +B) + 4 \cos\left(-\dfrac{\pi }{2} + B\right)=-5 \cos B + 4 \sin B$

По условию известно, что $\cos B = -\dfrac{8}{9}$. Так как косинус принимает отрицательные значения во второй и третьей четверти, то угол B - это угол второй или третьей четверти. Но синус во второй четверти положителен, а в третьей четверти отрицателен. Поэтому, имеется два варианта.

1. Если B - угол второй четверти, то, пользуясь основным тригонометрическим тождеством запишем:

$\sin^2B+\cos^2B=1$

$\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}$

$\sin B=\sqrt{1-\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2 } =\sqrt{1-\dfrac{64}{81} } =\sqrt{\dfrac{17}{81} } =\dfrac{\sqrt{17}}{9}$

Тогда:

$-5 \cos B + 4 \sin B=-5\cdot\left(-\dfrac{8}{9} \right)+4\cdot\dfrac{\sqrt{17} }{9} =\dfrac{40}{9} +\dfrac{4\sqrt{17} }{9} =\boxed{\dfrac{40+4\sqrt{17} }{9} }$

2. Если B - угол третьей четверти, то:

$\sin^2B+\cos^2B=1$

$\sin B=-\sqrt{1-\cos^2B}$

$\sin B=-\sqrt{1-\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2 } =-\dfrac{\sqrt{17}}{9}$

Тогда:

$-5 \cos B + 4 \sin B=-5\cdot\left(-\dfrac{8}{9} \right)+4\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{17} }{9} \right)=\dfrac{40}{9} -\dfrac{4\sqrt{17} }{9} =\boxed{\dfrac{40-4\sqrt{17} }{9} }$

Элементы теории:

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Формулы приведения:

$\cos(-\pi +\alpha ) = \cos(\pi-\alpha ) =-\cos \alpha$

$\cos\left(-\dfrac{\pi }{2} + \alpha \right)= \cos\left(\dfrac{\pi }{2} - \alpha \right)=\sin \alpha$