Question

Петя, Вася и Коля бежали по кольцевой дорожке с постоянными скоростями в одном направлении. Они стартовали одновременно и из одной точки. Петя впервые обогнал Васю на своем четвертом круге (то есть пробежав больше трех кругов, но еще не закончив четвертый), а Колю — на своем седьмом круге. Докажите, что Коля впервые обогнал Васю раньше, чем пробежал десять кругов.

Answer 1

Доказательство:

Введем общие обозначения:

$v_P$ - скорость Пети;

$v_V$ - скорость Васи;

$v_K$ - скорость Коли;

$s$ - длина круга.

1. Сначала рассмотрим то, что нам нужно доказать.

Пусть $t$ - это время, через которое Коля впервые обгонит Васю. Утверждается, что Коля к этому моменту пробежит меньше 10 кругов, то есть:

$S_K(t)=v_K\cdot t < 10s$

Выразим отсюда это время:

$t < \dfrac{10s}{v_K}$

И запишем, какое расстояние пробежит Вася за это время:

$S_V(t)=v_V\cdot t < v_V\cdot \dfrac{10s}{v_K} = \dfrac{v_V}{v_K} \cdot10s$

Поскольку утверждается, что Коля пробежал меньше 10 кругов и при этом обогнал Васю, то Вася пробежал меньше 9 кругов:

$\dfrac{v_V}{v_K} \cdot10s < 9s$

Упростим и преобразуем:

$\dfrac{v_V}{v_K} \cdot10 < 9$

$\boxed{\dfrac{v_V}{v_K} < \dfrac{9}{10}}$

Именно это неравенство для отношения скоростей Васи и Коли мы будем доказывать.

2. Рассмотрим момент, когда Петя впервые обогнал Васю. Заметим, что чем позже наступает этот момент, тем ближе отношение скоростей к единице.

Так, например, если бы обгон произошел ровно в тот момент, когда Петя пробежал 3 круга, это бы обозначало, что Вася пробежал 2 круга, а отношение их скоростей записывалось бы в виде:

$\dfrac{v_V'}{v_P'} =\dfrac{2}{3}$

Аналогично, если бы обгон состоялся тогда, когда Петя пробежал ровно 4 круга, а Вася соответственно 3 круга, то это отношение имело бы вид:

$\dfrac{v_V''}{v_P''} =\dfrac{3}{4}$

Но в нашей ситуации Петя обогнал Васю когда он бежал свой 4-ый круг, а значит настоящее отношение скоростей лежит в промежутке между двумя указанными выше значениями:

$\boxed{\dfrac{2}{3} < \dfrac{v_V}{v_P} < \dfrac{3}{4}}$

3. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, можно записать соотношение для скоростей Коли и Пети:

$\dfrac{5}{6} < \dfrac{v_K}{v_P} < \dfrac{6}{7}$

Для дальнейших рассуждений удобно записать оценку для обратного выражения:

$\boxed{\dfrac{7}{6} < \dfrac{v_P}{v_K} < \dfrac{6}{5}}$

4. Перемножим почленно итоговые оценки в пунктах 2 и 3:

$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{6} < \dfrac{v_V}{v_P}\cdot \dfrac{v_P}{v_K} < \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{6}{5}$

$\dfrac{2\cdot7}{3\cdot6} < \dfrac{v_V}{v_K} < \dfrac{3\cdot6}{4\cdot5}$

$\boxed{\dfrac{7}{9} < \dfrac{v_V}{v_K} < \dfrac{9}{10}}$

Как видно, мы получили некую оценку для отношения скоростей Васи и Коли. В 1 пункте мы отметили, что хотим доказать, что такое отношение скоростей меньше 9/10. Собственно, это и доказано, попутно мы нашли и оценку снизу для этого отношения.