Нормальне прискорення точки, що рухається по колу радіусом 4 м, задається рівнянням an = 1+6t+9t 2, де шлях в метрах , час - в секундах . Визначити: 1) тангенціальне прискорення точки; 2) шлях, пройдений точкою за час 5 с після початку руху; 3) повне прискорення для моменту часу 1 с.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для вирішення цього завдання потрібно виконати кілька кроків.
1. **Тангенціальне прискорення (\(a_t\)):**
- Тангенціальне прискорення визначається як похідна від шляху за часом: \(a_t = \frac{ds}{dt}\), де \(s\) - шлях.
\[ a_t = \frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dt} \cdot \frac{dt}{dt} = v \cdot v' \]
Для знаходження \(v = \frac{ds}{dt}\) візьмемо похідну від шляху \(s\).
\[ v = \frac{ds}{dt} = \int (1+6t+9t^2) \, dt \]
\[ v = t + 3t^2 + 3t^3 + C \]
Тепер знайдемо похідну від \(v\) по часу для знаходження тангенціального прискорення \(a_t\).
\[ a_t = \frac{dv}{dt} = 1 + 6t + 9t^2 \]
2. **Шлях, пройдений точкою за час 5 с після початку руху:**
- Щоб знайти шлях, використовуємо визначений раніше вираз для швидкості \(v\):
\[ s = \int v \, dt = \int (t + 3t^2 + 3t^3) \, dt \]
\[ s = \frac{1}{2}t^2 + t^3 + \frac{3}{4}t^4 + C \]
Тепер підставимо \(t = 5\) секунд:
\[ s = \frac{1}{2}(5)^2 + (5)^3 + \frac{3}{4}(5)^4 + C \]
\[ s = \frac{1}{2} \cdot 25 + 125 + \frac{3}{4} \cdot 625 + C \]
\[ s = 12.5 + 125 + 468.75 + C \]
\[ s = 606.25 + C \]
3. **Повне прискорення для моменту часу 1 с:**
- Повне прискорення (\(a\)) визначається як корінь квадратний з суми квадратів тангенціального (\(a_t\)) і радіального (\(a_n\)) прискорень:
\[ a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \]
Підставимо значення \(a_t\) з пункту 1, а \(a_n\) - це прискорення в радіальному напрямі, яке визначається як \(a_n = \frac{v^2}{r}\), де \(v\) - швидкість, \(r\) - радіус кола.
\[ a_n = \frac{(t + 3t^2 + 3t^3 + C)^2}{4} \]
Тепер підставимо значення \(t = 1\) секунда в обидва вирази (\(a_t\) і \(a_n\)) і підставимо їх до формули для \(a\).
Ці обчислення допоможуть вам знайти відповіді на поставлені питання.