Question

Обчислити інтеграли.

Answer 1

Ответ:

Применим формулу синуса двойного угла :  

 $\bf sin2x=2\, sinx\cdot cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sinx\cdot cosx=\dfrac{1}{2}\cdot sin2x$   .

Также применим формулу  :   $\bf \displaystyle \int \frac{du}{sin^2u}=-ctg\, u+C\ \ ,\ \ u=u(x)$   .  

$\bf \displaystyle \int \frac{dx}{sin^2x\cdot cos^2x}=\int \frac{dx}{(sinx\cdot cosx)^2}=\int \frac{dx}{\Big(\dfrac{1}{2}\cdot sin2x\Big)^2}=\\\\\\=\int \frac{4\cdot dx}{sin^22x}=\Big[\ d(2x)=(2x)'\, dx=2\, dx\ \Big]=\frac{4}{2}\int \frac{d(2x)}{sin^22x}=\\\\\\=2\cdot (-ctg\, 2x)+C=-2\cdot ctg\, 2x+C$