Question

Решитe неопределенные интегралы:
​

Answer 1

Ответ:

Найти неопределённые интегралы . Метод замены .

$\bf \displaystyle 2)\ \ \int \frac{\sqrt{arctg^63x}}{1+9x^2}\, dx=\Big[\ arctg\, 3x=t\ ,\ dt=\frac{3\, dx}{1+(3x)^2}=\frac{3\, dx}{1+9x^2}\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{3}\int \sqrt{t^6}\, dt=\frac{1}{3}\int t^{3}\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^4}{4}+C=\frac{1}{3}\cdot \frac{arctg^4x}{4}+C=\frac{arctg^4x}{12}+C$    

$\bf \displaystyle 3)\ \ \int \frac{x\, dx}{e^{3x^2+4}}=\Big[\ t=3x^2+4\ ,\ dt=6x\, dx\ \to \ x\, dx=\frac{dt}{6}\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{6}\int \frac{dt}{e^{t}}=\frac{1}{6}\int e^{-t}\, dt=\Big[\ u=-t\ ,\ du=-dt\ \Big]=-\frac{1}{6}\int e^{u}\, du=\\\\\\=-\frac{1}{6}\cdot e^{u}+C=-\frac{1}{6}\cdot e^{-t}+C=-\frac{1}{6}\cdot e^{-3x^2-4}+C=-\frac{1}{6\cdot e^{3x^2+4}}+C$