Ответы
Хорди кола АВ і СD перетинаються в точці К. Знайдемо кут СКВ. За властивостями хорд, які перетинаються, маємо:
AK * KB = CK * KD
Для того, щоб знайти кут СКВ, нам потрібно знайти дугу ВК і дугу КД. За умовою задачі, дуга ВС = 100⁰, а дуга АD = 158⁰. Оскільки дуга ВС і дуга АD є доповненнями до дуг АВ і СD відповідно, то:
дуга АВ = 360⁰ - 100⁰ = 260⁰ дуга СD = 360⁰ - 158⁰ = 202⁰
Тепер можемо знайти дугу ВК і дугу КД:
дуга ВК = дуга АВ / 2 = 260⁰ / 2 = 130⁰ дуга КД = дуга СD / 2 = 202⁰ / 2 = 101⁰
За допомогою теореми косинусів, знайдемо кут СКВ:
cos(∠SKV) = (KV^2 + KS^2 - SV^2) / (2 * KV * KS) sin(∠SKV) = sqrt(1 - cos^2(∠SKV))
де KV = KS = R - радіус кола, SV = 2 * R - діаметр кола.
За даними умови, дуга ВС = 100⁰, тому дуга ВК = 130⁰ - 100⁰ = 30⁰. Дуга АD = 158⁰, тому дуга КД = 101⁰ - 158⁰ = -57⁰. Оскільки дуга КД від’ємна, то ми повинні додати 360⁰, щоб отримати додатнє значення: дуга КД = -57⁰ + 360⁰ = 303⁰
Тепер можемо знайти кут СКВ:
R = 1 (без втрати загальності) KV = KS = R = 1 SV = 2 * R = 2
cos(∠SKV) = (KV^2 + KS^2 - SV^2) / (2 * KV * KS) = (1 + 1 - 4) / 2 = -1/2 sin(∠SKV) = sqrt(1 - cos^2(∠SKV)) = sqrt(3) / 2
∠SKV = arcsin(sqrt(3) / 2) = 60⁰
Отже, кут СКВ дорівнює 60⁰.