Question

вычислить tg (a/2) если cos a =1/2 и a принадлежит (3π/2;2π)​

Answer 1

Ответ:

$\mathrm{tg}\,\dfrac{a}{2}=-\dfrac{\sqrt{3} }{3}$

Решение:

По условию:

$\cos a=\dfrac{1}{2}$

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

$\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}}=\dfrac{1}{2}$

$1+\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}}=2\left(1-\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}\right)$

$1+\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}}=2-2\,\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}$

$\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}}+2\,\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}=2-1$

$3\,\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}=1$

$\mathrm{tg}^2\,\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{3}$

$\mathrm{tg}\,\dfrac{a}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{3} }{3}$

Поскольку по условию $a \in \left(\dfrac{3\pi }{2} ;\ 2\pi \right)$, то $\dfrac{a}{2} \in \left(\dfrac{3\pi }{4} ;\ \pi \right)$. Следовательно, угол $\dfrac{a}{2}$ лежит во второй четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Тогда:

$\boxed{\mathrm{tg}\,\dfrac{a}{2}=-\dfrac{\sqrt{3} }{3}}$

Элементы теории:

Универсальная тригонометрическая подстановка:

$\cos x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\,\dfrac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\,\dfrac{x}{2}}$