Question

3 1) По рисунку 3.30 напишите уравнения прямых м, п и к и запишите их в виде линейного уравнения. 2) Определите координаты точек С и D. 3) С помощью полученных трех линейных уравнений составьте попарно всевозмож- ные системы линейных уравнений. Среди них укажите системы, имеющие единствен- ное решение, и систему, не имеющую ре- n 35 шения. 4) Можно ли составить систему, имеющую бесконечно много решении, с помощью указанных уравнений? Чему равно коли- чество подобных систем, если можно соста- вить такую схему? (Целесообразно выполнить задания в группе.) 2 1/5 0 P​

Answer 1

Ответ:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид :

y = kx + b  , где b - ордината точки пересечения прямой с осью ОУ .

1)  Прямая m  пересекает ось ОУ в точке С( 0 : 1 ) , а ось ОХ в точке

А( 1 ; 0 ) .  Исходя из этих данных можно записать уравнение прямой  

m , проходящей через две точки .

Но можно найти из зелёного треугольника АОС угол α  и определить тангенс этого угла :  tgα = OC / OA = 1/1 = 1  ⇒  Значит угол  α = 45° .

Тогда угол наклона прямой  m  к положительному направлению оси ОХ равен  180° - 45° = 135°  и  tg135° = -1 . Это будет угловым коэффициентом прямой  m  :  k = -1 .  

Тогда уравнение прямой  m  имеет вид :  y = -x + 1  .

Как видим, прямая  n  параллельна прямой  m  , так как их угловые коэффициенты равны ,  tgα = OK/OB = 1  ⇒  k = -1 .  

Ось ОУ прямая пересекает в точке  К( 0 : 3,5 ) ,  поэтому b = 3,5  и уравнение прямой  n  :  y = -x + 3,5  .

Найдём уравнение прямой  k .  Угловой коэффициент этой прямой можно найти из cинего треугольника ОСР .

k = tg∠ОРС = СО/ОР = 2/3  , пересекает ось ОУ прямая k в точке

C( 0 ; 1 ) , поэтому  b = 1  .  Уравнение  k  :   y = 2x/3 + 1 .

2)  C( 0 ; 1 )  ,  D( 1,5 ; 2 )  

3)  Cистемы линейных уравнений :

$\left\{\begin{array}{l}\bf y=-x+1\\\bf y=-x+3,5\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=-x+1\\\bf y=\frac{2}{3}\, x+1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=-x+3,5\\\bf y=\frac{2}{3}\, x+1\end{array}\right$          

Единственное решение имеют 2 и 3 системы , так как прямые  m , k  и прямые  n , k  пересекаются в одной точке .

Система, не имеющая решений , - это 1 система , так как прямые  m и n не пересекаются , они параллельны .  

4) Составить систему, имеющую бесконечно много решений из таких трёх уравнений, как мы получили нельзя . Можно было бы написать уравнение одной и той же прямой дважды в системе , тогда она имела бы бесчисленное множество решений . Но можно было бы второе уравнение, чтобы оно не выглядело  таким же, как и первое уравнение системы, записать так, чтобы его коэффициенты и свободный член были пропорциональны . Например,

$\left\{\begin{array}{l}\bf y=-x+1\\\bf 2y=-2x+2\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=-x+1\\\bf y=-x+1\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf y=-x+3,5\\\bf 2y=-2x+7\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=-x+3,5\\\bf y=-x+3,5\end{array}\right$  

$\left\{\begin{array}{l}\bf \bf y=\frac{2}{3}\, x+1\\\bf 3y=2x+3\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf \bf y=\frac{2}{3}\, x+1\\\bf y=\frac{2}{3}x+1\end{array}\right$            

Если менять коэффициент пропорциональности . то таких систем можно составить бесконечно много .