Question

В треугольнике ABC и MNK угол B= углу N, AB/MN=BC/NK=2/3. Найдите AC и МК,если АС+МК=20 см
СРОЧНО 25 БАЛЛОВ

Answer 1

Дано: треугольник $ABC$, треугольник $MNK$, угол $B$ равен углу $N$, $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NK}=\frac{2}{3}$, $AC\cdot MK=20$.

Нужно найти: $AC$, $MK$.

Обозначим $x=AB$, $y=BC$. Тогда $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AB+BC}=\frac{y}{x+y}$, и $\frac{MK}{MN}=\frac{BC}{MN}=\frac{y}{3x}$.

Таким образом, имеем систему уравнений:

$$\begin{cases}

\frac{y}{x+y}\cdot AC=20/MK, \\

\frac{y}{3x}\cdot MK=AC-MK.

\end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе и подставим значение $AC$ из формулы $AC=20/MK\cdot\frac{3x}{y}+MK$:

$$\frac{x+y}{y}=3\cdot\frac{20/MK\cdot\frac{3x}{y}}{20/MK\cdot\frac{3x}{y}+2MK}\cdot\frac{y}{3x}+1-\frac{y}{3x}.$$

Упростим эту формулу и решим ее относительно $MK$:

$$\begin{aligned} \frac{x}{y} &= \frac{MK \cdot 9x}{20 \cdot 3y - MK \cdot 6x},\\ 20MK &= \frac{180xy}{20y-3x}. \end{aligned}$$

Теперь можно найти $AC$ по формуле $AC=20/MK\cdot\frac{3x}{y}+MK$:

$$AC = \frac{60x}{y} + \frac{180xy}{20y-3x}.$$

Таким образом, мы получили формулы для $AC$ и $MK$ через известные величины $x$ и $y$. Остается только подставить значения $\frac{AB}{MN}=\frac{2}{3}$ и $BC=\frac{3}{2}AB$:

$$\begin{aligned} \frac{x}{3x/2} &= \frac{2}{3} \\ x &= 8, \\ y &= \frac{3}{2}x = 12. \end{aligned}$$

Теперь можем найти искомые величины:

$$\begin{aligned} AC &= \frac{60\cdot 8}{12} + \frac{180\cdot 8\cdot 12}{20\cdot 12 - 3\cdot 8} = \frac{480}{3} + \frac{1728}{32} = \frac{1696}{3} = \boxed{\frac{848}{3}}\approx 282.7, \\ MK &= \frac{180\cdot 8\cdot 12}{20\cdot 12 - 3\cdot 8} = \frac{1728}{32} = \boxed{54}. \end{aligned}$$