Знайдіть чотири послідовних натуральних числа, якщо відомо, що добуток другого та третього з них на 2 більший, ніж добуток першого та четвертого.
Ответы
Позначимо чотири послідовні натуральні числа як a, b, c та d. Умова задачі формулюється наступним чином:
(
�
⋅
�
)
⋅
2
>
(
�
⋅
�
)
(b⋅c)⋅2>(a⋅d)
Також відомо, що числа є послідовними, тобто:
�
=
�
−
1
a=b−1
�
=
�
+
1
c=b+1
�
=
�
+
1
d=c+1
Підставимо вирази для a, c та d у нерівність:
(
�
⋅
(
�
+
1
)
)
⋅
2
>
(
(
�
−
1
)
⋅
(
�
+
2
)
)
(b⋅(b+1))⋅2>((b−1)⋅(b+2))
Розгорнемо добутки та спростимо вираз:
2
�
2
+
2
�
>
�
2
+
�
−
2
2b
2
+2b>b
2
+b−2
Відсутність знака рівності в нерівності дозволяє нам відкинути члени, що знімаються, та спростити нерівність:
�
2
+
�
−
2
>
0
b
2
+b−2>0
Тепер факторизуємо квадратичний тричлен:
(
�
+
2
)
(
�
−
1
)
>
0
(b+2)(b−1)>0
Таким чином, маємо дві можливі області значень для b:
�
<
−
2
b<−2 або
�
>
1
b>1. Так як ми шукаємо натуральні числа, то відповідає лише
�
>
1
b>1.
Отже, можемо обрати, наприклад, b = 2. Підставимо b у вирази для a, c та d:
�
=
2
−
1
=
1
a=2−1=1
=
2
+
1
=
3
c=2+1=3
�
=
3
+
1
=
4
d=3+1=4
Отже, чотири послідовні натуральні числа, які задовольняють умову, це 11, 27, 32 та 42.