Question

(-6;5). У кожній точці цього проміжку існує похідна y = f ’(x). Скільки всього коренів має рівняння f ’(x)=0 на проміжку (-6;5)

Answer 1

За теоремою про існування похідної, якщо функція \( f(x) \) неперервна на відрізку \([a, b]\) і диференційована на відкритому інтервалі \((a, b)\), то вона диференційована на відрізку \((a, b)\).

Отже, оскільки в кожній точці проміжку \((-6; 5)\) існує похідна \( y = f'(x) \), то \( f(x) \) диференційована на цьому проміжку.

За теоремою Ролля, яка стосується диференційованих функцій, якщо \( f(x) \) диференційована на \((a, b)\), неперервна на \([a, b]\), і \( f(a) = f(b) \), то існує така точка \( c \) на \((a, b)\), де \( f'(c) = 0 \).

Отже, на проміжку \((-6; 5)\) кількість коренів рівняння \( f'(x) = 0 \) буде принаймні один, оскільки \( f(-6) = f(5) \) (якщо \( f(x) \) неперервна на \([-6; 5]\)).