Question

5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у=1/х^2 на отрезке [1; 4]

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle \frac{1}{16}$ - наименьшее значения функции $\tt \displaystyle y=\frac{1}{x^2}$ на отрезке [1; 4],

1 - наибольшее значения функции $\tt \displaystyle y=\frac{1}{x^2}$ на отрезке [1; 4]

Объяснение:

Алгоритм нахождения наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

1) Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный отрезок:

Область определения функции $\tt \displaystyle y=\frac{1}{x^2}$: x≠0 ⇒ x∈(-∞; 0)∪(0; +∞), и

[1; 4]⊂(-∞; 0)∪(0; +∞);

2) Найдём производную данной функции:

$\tt \displaystyle y'=(\frac{1}{x^2})'=(x^{-2})'=-2 \cdot x^{-2-1}=-2 \cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3};$

3) Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение):

$\tt \displaystyle y'=0 \Leftrightarrow -\frac{2}{x^3}=0$ - не имеет решений;

4) Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в них. Но в нашем случае таких точек вообще нет!

5) Возьмём точки начала и конца отрезка и найдём значение функции в них:

$\tt \displaystyle y(1)=\frac{1}{1^2}=1, \;\; y(1)=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16};$

6) Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции:

$\tt \displaystyle \frac{1}{16}$ - наименьшее значения функции $\tt \displaystyle y=\frac{1}{x^2}$ на отрезке [1; 4],

1 - наибольшее значения функции $\tt \displaystyle y=\frac{1}{x^2}$ на отрезке [1; 4].

#SPJ1